Урок математики в 9 классе Понятие арифметической прогрессии. Свойства арифметической прогрессии. презентация

Устный счет
1) Последовательность уn задана формулой
уn= 9 – 5n.
Найдите у2, у3, у5.
2) Последовательность задана формулой
an = – 3n + 15
Найдите номер члена последовательности, равного 6; 0; -3; -9.
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка

4; 6; 8; 10; …
2) 2; 3; 5; 6; 8; …
1; 3; 5; 7; …
1; 2; 3; 4; …
5) 1; 4; 9; 16; …
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
12; 14
9; 11
9; 11
5; 6
25; 36
✓
✓
✓

Что такое прогрессия?
Это частный случай числовой последовательности.
Слово прогрессия латинского происхождения и означает «движение вперед».
Прогрессии были известны в Древнем Египте и Вавилоне около 2000 лет до н.э.
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка

Определение арифметической прогрессии
Числовую последовательность,
каждый последующий член которой равен предшествующему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией.
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка

Разность арифметической прогрессии
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка

Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член прогрессии, d – разность.
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d =(a1 + d) + d = a1+2d
a4 = a3 + d =(a1+2d) +d = a1+3d
a5 = a4 + d =(a1+3d) +d = a1+4d
. . .
Задание арифметической прогрессии формулой n – ого члена
an = a1+ (n-1)·d
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка

Характеристическое свойство:
Любой член арифметической прогрессии, кроме первого, есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов.
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка

Способы задания арифметической прогрессии
а) рекуррентной формулой:
б) формулой n-го члена:
в) формулой вида:
Примеры последовательностей
1) 2; 5; 8; 11;…
2) 20; 17; 14; 11;… 3) 8; 8; 8; 8;…
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка

№ 621
Дано: ( an ): 2; 7; 12; 22; 27; …
Найти: а) разность между последующим членом
и предыдущим;
б) ( an ) – арифметическая прогрессия?
Решение:
a2 – a1 = a3 – a2 = a5 – a4 =7 – 2 = 12 – 7= 27 – 22 =5,
но a4 – a3 =22 – 12 =10,
10≠5,
значит, …
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
аn не арифметическая прогрессия

№ 627 (а,г)
Дано: ( an ) – арифметическая прогрессия
а)а3=5; a4=9.
Найти: a2 и d.
Решение:
г) а6= – 15; a8= –11 .
Найти: a7 и d.
Решение:
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
d =a4 – a3= 9 – 5 =4,
a2=a3 – d= 5 – 4 = 1.
Или a3 =(a2+a4):2, тогда
a2= 2a3–a4 =2·5 – 9 = 1
Ответ: a2=1, d=4.
a7 = (a6+a8): 2,
a7 =(–15 – 11):2= – 13,
d =a8 – a7= –11 –(–13)= 2.
Ответ: a7= –13, d=2.

№ 622
Дано: а1=3; d = 2; an= a1 +(n - 1)·d . Найти пять первых членов арифметической прогрессии.
Решение:
а2 = a1 + d= 3+2=…
a3= a1 +2d=….
a4 =…
a5 =…
Ответ:
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка

№ 630(а)
В арифметической прогрессии (an ) найти a2 + a9,
если a1 + a10 = 120.
Решение:
a1+ a10 = a1 +(a1+9d)= 120,
2a1+9d= (a1+d) + (a1 +8d)=
Ответ:
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка

№ 632 (а)
Является ли число 12 членом арифметической прогрессии - 10; - 8; -6; …?
Решение:
d= a2 – a1 =– 8 – (–10)=2,
a1 + (n– 1)·d = an ,
– 10 +(n– 1)·2 = 12,
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка
Т.к. 12 – целое число, значит a12 =12.
Ответ: число 12 является 12-м членом
арифметической прогрессии.

Дополнительное задание
В арифметической прогрессии найти a10, если
a25 − a20 = 10 и a16 = 13.
Решение:
a25= a1 +24d, a20= a1+19d, a16= a1+15d.
(a1 +24d) – (a1+19d)=10,
a1+15d =13.
Решая эту систему, найдем , , .
Тогда a10= a1+ 9d=
Ответ:
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка

Итог урока
Какую последовательность называют арифметической прогрессией?
Что называют разностью арифметической прогрессии? Как ее найти?
Какова формула n-го члена арифметической прогрессии?
Какими свойствами обладает арифметическая прогрессия?
Михайлова Г.И. учитель математики МОУ-СОШ с.Карпенка