Начертательная геометрия. Проекции точки, прямой и плоскости презентация

Цель и задачи лекции
Определить основы построения ортогонального чертежа (эпюра)
Дать понятия проекций точки, прямой линии и плоскости на эпюре
Раскрыть сущность построения точки, прямой линии и плоскости в системе двух и трех плоскостей проекций
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

В результате изучения темы Вы будете знать
Сущность построения ортогонального чертежа (эпюра) точки и прямой линии
Способы задания прямой линии и плоскости на эпюре
Приемы построения точки и прямой линии, принадлежащих плоскости
В результате изучения темы Вы будете уметь:
Строить и обозначать на эпюре проекции точки, прямой линии и плоскости
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Ортогональные проекции точки
А1 - горизонтальная проекция точки А;
А2 - фронтальная проекция точки А;
А3 - профильная проекция точки А.
Расстояние от точки до плоскостей проекций – это
координаты точки – А(XА, YА, ZА)
X
Y
O
П1
П3
П2
XA
Z
А
А1
А2
А3
YA
ZA
Точка – простейший графический примитив
Горизонтальная плоскость проекций - П1
Фронтальная плоскость проекций - П2
Профильная плоскость проекций - П3
ось X – абсцисс • ось Z - аппликат
ось Y – ординат • О – начало координат
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ЧЕРТЕЖ - ЭПЮР
Ортогональный чертеж или эпюр - изображение полученное путем параллельного прямоугольного проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, совмещенные с фронтальной плоскостью проекций
Z
Y
Y
X
П3
П1
П2
XA
А2
А3
YA
ZA
X
Y
O
П1
П3
П2
XA
Z
А
А1
А2
А3
YA
ZA
А1
Три координаты точки и две проекции точки определяют ее положение в пространстве
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Задание точки на эпюре
Точку можно задать ее координатами, например:
А(50; 20: 45)
В(20; 40; 10) и построить эпюр в двух плоскостях проекций
X
Z
Y
0
A1
A2
B2
B1
П1
П2
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Задание точки на эпюре
Точку можно задать ее положением относительно другой точки
Например:
В(20; 40; 10), а точка С выше ее на 10, левее на 25 и дальше на 15
X
Z
Y
0
B2
B1
П1
П2
С2
С1
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

По двум проекциям точки всегда можно построить третью проекцию
X
Z
Y
0
B2
B1
П1
П2
С2
С1
С3
П3
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости
B3

Конкурирующие точки
Точки, лежащие на одной линии связи, называются конкурирующими
По этим точкам определяется видимость объектов
Например: А выше В, поэтому она видима на горизонтальной плоскости или D ближе к наблюдателю, чем С, поэтому она видима на фронтальной плоскости
А2
А1≡
(В1)
В2
(С2) ≡
С1
D1
D2
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости
Если проекции точки на одной из плоскостей совпадают, то они обозначаются знаком ≡

Прямая линия – кратчайшее расстояние между двумя точками

Графические способы задания прямой линии
B2
B1
С2
С1
1способ. Изображением проекций отрезков прямых линий: C1B1, C2B2
или проекциями прямых: (а1, а2)
а1
а2
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

X
Z
Y
А2
А1
В2
В1
2 способ. Координатами концов отрезка прямой А(x,y,z), В(x,y,z)
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

3 способ. Натуральной величиной отрезка прямой IABI и углами наклона (f и y ) к плоскостям проекций П1, П2, П3
X
Z
А2
А1
В2
В1
f
y
IАВI
Угол наклона прямой линии к горизонтальной плоскости проекций f называется фи
Угол наклона прямой линии к фронтальной плоскости проекций
y называется пси
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости
X
Z
C2
C1
D2
D1
ψ
y
ICDI

Прямые в пространстве могут занимать общее и частное положение
Прямые общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций
Прямые частного положения либо параллельны, либо перпендикулярны плоскостям проекций
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Прямые линии общего положения
а2
в2
с2
а1
в1
с1
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости
О
Х

Прямые линии частного положения
• прямые перпендикулярные плоскостям проекций - проецирующие прямые
• прямые параллельные плоскостям проекций – линии уровня
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Прямые частного положения перпендикулярные плоскостям проекций
1. Проецирующие прямые
Горизонтально-проецирующая прямая
А
B1
А1
B2
А2
B
Ξ
Z
X
Y
Z
X
Y
А1 Ξ B1
B2
А2
О
О
AB ┴ П1
IА2В2I = I АВ I
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Фронтально-проецирующая прямая
C
Y
Z
X
Y
X
Z
D
C1
C1
C2ΞD2
C2
Ξ D2
D1
D1
CD ┴ П2
I C1D1 I = I CD I
О
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Прямые частного положения параллельные плоскостям проекций
2. Прямые уровня
горизонтальная прямая (AB), горизонталь h
X
Z
Y
А2
А1
В2
В1
AВ II П1
ZА=ZB
IА1В1I = IАВI
АВ П2=А1В1 OX= y
y
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

фронтальная прямая (CD), фронталь f
X
Z
Y
C2
C1
D2
D1
CD II П2
УС = YD
IС2D2I = ICDI
CD П1= С2D2 OX=f
f
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Относительное положение прямых
1. Параллельно
2. Перпендикулярно
3. Пересекаться
4. Скрещиваться
Прямые в пространстве могут быть расположены:
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Параллельные прямые
Проекции параллельных прямых параллельны
X
Z
Y
а2
a1
b2
b1
a II b => a1 II b1
a II b => a2 II b2
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые
X
Y
Z
a2
b2
a1
b1
O
a II П1
a ┴ b => a1 ┴ b1
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Пересекающиеся прямые
X
Z
Y
a2
К1
b2
b1
a1
К2
a b =>a1 b1 =K1
a b =>a2 b2=K2
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях.
Точки скрещивания прямых называются конкурирующими точками.
Точка А выше точки В относительно горизонтальной плоскости проекций, поэтому ее горизонтальная проекция А1 видима
X
Z
Y
a1
a2
b1
b2
А1≡В1
В2
А2
a • b
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ
ПЛОСКОСТЬ – МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ ПРОСТРАНСТВА И ПЕРЕСЕКАЮЩИХ ВНЕ ЕЕ ПРЯМУЮ ЛИНИЮ
A
a
Лекция 2. Проекция прямой линии и плоскости

X
Z
Y
А2
А1
В1
C2
C1
В2
ax
aп2
aп1
6 способов задания плоскости на эпюре, каждый из которых последовательно переходит один в другой
Лекция 2. Проекция прямой линии и плоскости

Следом плоскости называется линия пересечения заданной плоскости с плоскостями проекций
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Y
Z
X
aп1
aП3
aП2
ax
ay
az
Следы плоскости
a
a-плоскость;
aп1 - горизонтальный след плоскости a;
aп2 - фронтальный след плоскости a;
aп3 - профильный след плоскости a;
ax, ay, az - точки схода следов
Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости

Z
X
Y
Y
aП2
aп1
aП3
ax
ay
az
Z
X
aп1
aП3
aП2
ax
ay
az
a
ay
Y
xα
yα
Zα
Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости

ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
1. Относительно плоскостей проекций плоскости разделяют:
• плоскости частного положения • плоскости общего положения
2. Плоскости частного положения подразделяют на
плоскости параллельные плоскостям проекций – плоскости уровня
плоскости перпендикулярные плоскостям проекций – плоскости проецирующие
Лекция 2. Проекция прямой линии и плоскости

ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
1. Плоскости уровня – параллельные плоскостям проекций
Горизонтальная плоскость уровня aII П1
Z
X
Y
Y
aП2
aП3
az
Y
Z
X
aП3
aП2
az
a
А1
В1
С1
А2
В2
С2
А1
С1
В1
А2
В2
С2
ΔАВС; IABCI=IA1B1C1I
В3 С3 А3
Лекция 2. Проекция прямой линии и плоскости

Z
X
Y
Y
bп1
bП3
by
Y
Z
X
bп1
bП3
by
by
Фронтальная плоскость уровня b I| П2
А1
В1
С1
С2
В2
А2
b
ΔАВС; IABCI=IA2B2C2I
А3≡С3
В3
Лекция 2. Проекция прямой линии и плоскости

Z
X
Y
Y
gП2
gп1
gx
Z
X
gп1
gП2
gx
g
Профильная плоскость уровня   П3
Y
Лекция 2. Проекция прямой линии и плоскости

2. Проецирующие плоскости - плоскости перпендикулярные плоскостям проекций
Горизонтально проецирующая плоскость ┴П1
X
Y
Y
aП2
aП3
Z
X
aп1
aП2
ax
ax
Z
aп1
aП3
a
Y
ay
y
ay
ay
А1
В1
С1
А2
В2
С2
ΔАВС
Лекция 2. Проекция прямой линии и плоскости
А3
В3
С3

Фронтально проецирующая плоскость  ┴ П2
Z
X
Y
Y
П2
п1
x
Y
Z
X
П2
z

П3
П1
П3
z
x
А2
В2
С2
А1
В1
С1
f
ΔАВС  
А3
В3
С3

Плоскость общего положения заданная треугольником
А2
В2
С2
В1
С1
А1
X
Лекция 3. Относительное положение прямой и плоскости, плоскостей
С3
В3
А3
По двум проекциям плоской фигуры всегда можно построить третью проекцию фигуры

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ
ПЛОСКОСТИ
Прямая принадлежит плоскости если она проходит:
а) через две точки этой плоскости
б) через точку плоскости параллельно какой-либо прямой этой плоскости
Лекция 2. Проекция прямой линии и плоскости
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой в этой плоскости

Построить прямую ЕМ, принадлежащую плоскости треугольника
А2
В2
С2
В1
С1
А1
X
Лекция 3. Относительное положение прямой и плоскости, плоскостей
С3
В3
А3
Прямая принадлежит плоскости, если она принадлежит двум точкам данной плоскости
Е2
М2
Е1
М1
Е3
М3

Выводы по теме
Для создания чертежа (эпюра) применяют ортогональное (прямоугольное) проецирование на три плоскости проекций: горизонтальную – П1, фронтальную – П2, профильную – П3
Эпюр точки можно построить по координатам, например А (x, y, z) или по проекциям точки
Через две точки можно провести прямую линию
Множество положений прямой линии образуют плоскость
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Выводы по теме
Прямые и плоскости подразделяются на прямые и плоскости общего и частного положения относительно плоскостей проекций
Прямые и плоскости частного положения либо перпендикулярны, либо параллельны плоскостям проекций
Прямые и плоскости общего положения не параллельны и не перпендикулярны плоскостям проекций
Прямая линия принадлежит плоскости, если она принадлежит двум точкам данной плоскости
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости

Список рекомендуемой литературы
Королев Ю. И. Начертательная геометрия: учебник для студентов вузов, обучающихся по направлениям подгот. бакалавров, магистров и дипломир. специалистов по курсу "Начертат. геометрия" в техн. вузах / Ю. И. Королев. - Москва ; Санкт-Петербург ; Нижний Новгород [и др.]: Питер, 2007. - 252 с.:
Нартова Л. Г. Начертательная геометрия. Теория и практика: учеб. для студентов вузов, обучающихся по направлениям подгот. и специальностям в обл. техники и технологии / Л. Г. Нартова, В. И. Якунин. - Москва: Дрофа, 2008. – 302 с.
Лекция 2. Проекция прямой линии и плоскости

Список рекомендуемой литературы
Бударин О. С. Начертательная геометрия. Краткий курс: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлениям в обл. техники и технологий / О. С. Бударин. - 2-е изд., испр. - Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар: Лань, 2009. - 368 с.
Чекмарев А. А. Начертательная геометрия и черчение: учеб. для студентов вузов, обучающихся по техн. специальностям / А. А. Чекмарев. - 3-е изд., перераб. и доп. - Москва: Юрайт, 2011. - 471 с.:
Лекция 2. Проекции точки, прямой и плоскости