Пересечение прямых и плоскостей презентация

k2
ω2
k1
x12
N2
N1
Точкой пересечения прямой с плоскостью является точка, принадлежащая прямой и плоскости.
N∈ω т.к. N2∈ω2
N∈k т.к. N2∈k2
и N1∈k1
}
(∙)N – точка пересечения
прямой k c пл. ω

Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью

α2
k
α
k
12
22
1
2

α2
12
22
A2
B2
C2
A1
B1
C1
x12
11
21
Линия пересечения плоскости ОП с плоскостью ЧП имеет одну из своих проекций на одноименном задающем следе плоскости ЧП .

Пересечение прямой с плоскостью общего положения

α
ϕ
m
K
1
2
ϕ (m∈ϕ);
ϕ∩α ⇒1,2;
1,2∩m ⇒K
Алгоритм:

x12
m2
m1
ϕ2
12
22
11
21
ϕ⊥П2 (m∈ϕ);
ϕ∩α ⇒1,2;
1,2∩m ⇒K
Алгоритм:
К1
А1
С1
В1
В2
С2
А
К2

x12
m2
m1
ϕ2
12
22
11
21
ϕ⊥П2 (m∈ϕ);
ϕ∩α ⇒1,2;
1,2∩m ⇒K
Алгоритм:
К1
А1
С1
В1
В2
С2
А
К2

Пересечение проецирующих плоскостей

α
β2
α2
k
k2
k1
β
90°

β2
α2
k2
k1
x12
90°

Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения

α
m
K
L
β
n

α
m
K
L
β
n
К
L

α
m
β
n
L
K
Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения заключается в определении точек пересечения двух прямых одной плоскости с другой плоскостью

α
β
ϕ
ω
N
M
1
2
3
4
5
6

a2
b2
e2
f2
ϕ2
ω2
b1
a1
12
22
32
42
41
31
21
11
52
62
61
51
M1
N1
N2
M2
e1
f1
α(a∩b)
β(eff)
ω⊥П2
ϕ⊥ П2
ω∩α⇒12
12∩34⇒M
ω∩β⇒34
ϕ∩α⇒5…
ϕ∩β⇒6…
5…∩6…⇒N

α(a∩b)
и β(eff)
ω⊥П2
ϕ⊥ П2
ω∩α⇒12
}
ω∩β⇒34
ϕ∩α⇒5…
ϕ∩β⇒6…
}
5…∩6…⇒N
12∩34⇒M
}
MN – линия
пересечения
плоскостей
α и β
Алгоритм построения линии пересечения
двух плоскостей общего положения

Пересечение плоскости с проецирующей плоскостью

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, принадлежащая обеим плоскостям.
А2
В2
С2
А1
В1
С1
ϕ2
12
22
12
22
x12
12 ∈ϕ т.к. 1222≡ϕ2
12 ∈ΔАВС т.к.
(∙)1∈АС;
(∙)2∈ВС
{
12 - линия пересечения пл.ϕ и пл. ΔАВС
Плоскость ϕ ⊥П2

Определение видимости плоскостей

А2
В2
С2
С1
ϕ2
12
22
x12
А1
В1
12
22

Пересечение поверхности плоскостью и прямой

Пересечение проецирующей плоскости с поверхностью многогранника

А2
В2
С2
S2
A1
C1
B1
ϕ2
12
22
32
11
21
31

Пересечение с линейчатой поверхностью

парабола

гипербола

эллипс

Конические сечения
гипербола
парабола
окружность
треугольник
эллипс

ϕ2
1о1
2о1
3о1
4о1
5о1
6о1
7о1
8о1
≡8о2
2о2
3о2
4о2
5о2
≡6о2
≡7о2
1о2
21
51
71
31
41
61
81
11≡
12 ≡
22
32
42
62 ≡
52
72 ≡
≡82

Алгоритм
На поверхности обозначить ряд образующих. Обязательно включить очерковые образующие с П1 и П2.
Обозначить точки пересечения проецирующей плоскости с образующими.
Перенести точки на другую плоскость проекций. Соединить полученные проекции точек плавной кривой.
Показать видимость линии пересечения.

ϕ2
(12)
62≡
M
m2
n2
22
32
42
52
61
72≡
82≡
71
81
11
51
41
31
21
M
m1
n1

Алгоритм
На поверхности обозначить ряд точек на следе плоскости. Обязательно включить точки, лежащие на экваторе и главном меридиане.
Перенести точки, лежащие на экваторе и главном меридиане на другую плоскость проекций.
На поверхности обозначить ряд параллелей на П1 и П2.
Обозначить точки пересечения проецирующей плоскости с параллелями.
Перенести точки на другую плоскость проекций.
Соединить полученные проекции точек плавной кривой.
Показать видимость линии пересечения.

Пересечение прямой с гранными поверхностями

А2
В2
С2
S2
l1
A1
C1
B1
l2
ϕ2

Алгоритм построения точек пересечения прямой с поверхностью
l ∈ пл. ϕ;
пл. ϕ ∩ с поверхностью τ ⇒ линия d;
линия d ∩ l ⇒ (∙∙∙) M, N.

Пересечение прямой с линейчатой поверхностью

Алгоритм построения точек пересечения прямой с поверхностью
l ∈ пл. ϕ;
пл. ϕ ∩ с поверхностью τ ⇒ линия d;
линия d ∩ l ⇒ (∙∙∙) M, N.

α2
l2
N2
M2
R
R
N1
M1
l1

l2
M2
N2
≡
M1
N1
ϕ2
l1

1
2
3
6
4
N
M
5

1
2
1
2
3
4
3
4
5
6
N
M
M
N

Алгоритм построения точек пересечения
прямой ОП с конусом
Выбрать (∙) 1 и (∙) 2 на прямой.
Через вершину конуса и (∙) 1 и (∙) 2 провести лучи.
На пересечении лучей с плоскостью основания конуса построить (∙) 3 и (∙) 4.
Построить линию 34 .
На пересечении линии с очерком основания конуса построить (∙) 5 и (∙) 6 .
Построить образующие конуса из (∙) 5 и (∙) 6 .
На пересечении образующих с прямой построить (∙) М и (∙) N.

α1
х14
х12
l2
l1

Алгоритм построения точек пересечения
прямой ОП со сферой
Заключить прямую l в проецирующую плоскость α.
Ввести дополнительную плоскость проекций Пi+1 || α.
На пл. Пi+1 построить центр сферы О и прямую l.
Из центра Оi+1 построить сечение сферы плоскостью α (окружность).
Обозначить точки пересечения проекций сечения сферы и прямой на пл. Пi+1 .
Точки перенести с плоскости Пi+1 на плоскости проекций Пi , П1, П2.