Магнитная гидродинамика презентация

Общие сведения. Уравнения
Максвелла. Модель среды
Магнитная гидродинамика – часть физики плазмы со спецификой:
рассматривает движение плазменных сред с высокой проводимостью
главным образом под управляющим воздействием МП.
Обычно в физике плазмы ток проводимости j= σE (ЭДС E)
сопоставим или меньше тока смещения
Учет МП анизотропии проводимости:
и гиротропии плазмы:
циклотронная частота

МГД: течение хорошо проводящей жидкости (сильно нарушена электро - нейтральность) сопровождается токам (конвективный перенос зарядов), ток под действием МП индуцирует ЭП, оказывая воздействие на течение.
ЭДС ток МП
Воздействие
на среду
(течение)
Эксперимент
МГД
Ток в МП
(течение)
ЭП
МП
ток
Разные цепочки причинно-следственной связи:
v≠0
внешнее МП
течение
Формула СТО
ЭП, индуцируемое током в МП

Объекты МГД – движения (течения) электропроводящих жидкостей
и газов (ионизованные газы, расплавы металлов, электролиты,
магнитные суспензии) – рассматриваются на основе гипотезы
сплошности среды и непрерывного распределения заряда (тока)
Уравнения гидродинамики на основе законов электромагнетизма
обобщаются для учета воздействия электрических и магнитных
полей на течения жидкостей. В уравнениях гидродинамики
добавляются полевые по происхождению объемные силы.
Изучаемые МГД процессы
Перекачка жидких металлов
(теплоносителей) на АЭС (МГД-насосы)
Плазменные двигатели ракет и пушки
Энергетика (МГД-генераторы
тока, термоядерный синтез)
Природные явления и астрофизика
(магнитосфера Земли, проблема динамо,
процессы на Солнце)

Исходные уравнения электродинамики (ЛСО)
релятивистский
добавок
1) В статическом состоянии для типичных сред МГД:
ε=1, μ=1
Векторы индукции заменим напряженностями: В→H, D→E
2) Изотропность среды в отношении проводимости нуждается в пояснении.
Двигаясь вдоль силовой линии частица не испытывает влияния МП и
Напротив
Различие пропадет,
если за период обращения
частица испытает большое число ν=
/l
столкновений (тепловое движение
изотропирует проводимость – траектории
частиц перестают замыкаться вокруг
силовых линий МП), т.е. T>>1/ν
условие изотропии проводимости ⇒ высокие температуры.

3) Пренебрежение током смещения:
При заданной проводимости не должны рассматриваться
быстропеременные (электромагнитные, по сути) процессы
МГД рассматривает сравнительно медленные течения
сред с достаточно хорошо выраженной проводимостью
Пренебрежение током смещения означает, что между
изменяющимися полями E и H нет запаздывания: E и H
определяют самосогласованно в один и тот же момент
времени.
В итоге, полагая в уравнениях электродинамики
приходим к уравнениям Максвелла для МГД

2. Уравнение движения проводящей жидкости в ЭЛМ-поле
1) Из гидродинамики (без учета вязкости) имеем уравнение Эйлера
Все, что добавится войдет в f − результирующую плотность массовых
сил. Поэтому
плотность массовых сил не электромагнитной природы
(далее опускаем)
плотность массовых сил электрического поля
плотность массовых сил магнитного поля
2) Из электродинамики
сила Лоренца на
единицу объема

Приведенная к единице массы сила Лоренца
Из уравнений Максвелла МГД имеем
Для выражения по-отдельности
и
примем во внимание,
что в пренебрежении током смещения поля E и H изменяются
самосогласованно (без задержки) и величины , зависят от
них одинаковым образом, поддерживая симметрию по
перестановке при E H. В результате имеем

Для последующих обобщений (например, учета сил вязкости)
следует использовать форму записи уравнения движения
жидкости, основанную на представлении объемных сил
дивергенцией тензора плотности потока импульса , т.е.
Чтобы получить с учетом действия сил и представим
эти силы в координатной форме, а затем учтем формулу
После несложных преобразований, получим
Или

Величины
имеющие смысл максвелловских напряжений электрического и
магнитного поля, представляют собой симметричные тензоры 2-го
ранга, которые определяют искомые вклады полей в тензор
плотности потока импульса. Отсюда имеем
обычная
гидродинамика
тензор вязких
напряжений
Геометрический образ
тензора напряжений
магнитное давление
По Максвеллу изменение МП в веществе
можно рассматривать как следствие
отталкивания силовых линий с силой
и натяжения с силой

Итог: магнитные силовые линии стремятся выпрямиться или
сжаться (если они замкнуты), а их распределение в веществе
стремится стать однородным из-за взаимного отталкивания.
При сильной проводимости имеет место быстрая релаксация
объемного заряда ( с)
Другая особенность МГД – рассматриваются достаточно
медленные процессы, когда
С учетом действия только этой магнитной силы уравнение
движения примет вид

3. Система уравнений магнитной
гидродинамики
Уравнение движения
рассматривается совместно с уравнением непрерывности
уравнением сохранения внутренней энергии u (для единицы объема)

уравнениями Максвелла МГД (в пренебрежении )
Всего 11 независимых уравнений для 16 неизвестных:
v, E, H, q, p, ρ, T, u
Чтобы получилась замкнутая система уравнений добавляют:
− калорическое уравнение состояния вещества
− термическое уравнение состояния вещества
− уравнение теплопроводности (закон Фурье)
Уравнение сохранения внутренней энергии принято описывать в
терминах вектора плотности потока энергии I. Без учета ЭЛМ-поля
имеем
гидродинамический
поток
тепловой
поток

Учет действия ЭП и МП
Из электродинамики − вектор Пойтинга
С учетом уравнения баланса мощности для ЭЛМ-поля
плотность энергии
ЭЛМ-поля
после добавления в уравнении сохранения энергии w к ρu получим
закон сохранения полной энергии среды в виде
В уравнениях Максвелла МГД подставим
в уравнение
уравнение для определения ЭП

Уравнение для
определения МП
Сводная система уравнений МГД

Граничные условия:
Неподвижная твердая граница − условие прилипания
На границе тела, движущегося со скоростью U
На свободной границе
магнитное
давление
На границе раздела жидкостей – непрерывность скоростей
и давлений
К гидродинамическим ГУ добавляются ГУ электродинамики:
− плотность поверхностного тока

4. «Вмороженность» силовых линий.
Диффузия магнитного поля.
Уравнение МГД в пределе σ→∞
дает
Это уравнение выражает сохранение
магнитного потока через индивидуальный
(состоящий из одних и тех же частиц
жидкости) контур
dl
vdt
dS
l
Изменение магнитного потока за dt
из-за изменения
МП при смещении
контура
из-за изменения
площади контура
в этом переходе использована
циклическая подстановка
A⋅(B×C)=B⋅(C×A)=C⋅(A×B)

Далее используем теорему Стокса
Теперь оценим изменение магнитного потока из-за изменения МП
Складывая, получаем
Отсюда видно, что из равенства
действительно получается

Постоянство Φ~Η S означает
при сжатии контура силовые линии сближаются, МП возрастает
при расширении индивидуального сверхпроводящего контура
силовые линии МП разбегаются – напряженность поля падает.
Иначе это можно связать с тем, что при движении (течении) сверхпроводящей жидкости поперек МП вместе с ней перемещается и само магнитное поле – линии МП как бы «вморожены» в жидкость.
теорема Валена:
Следствие «вмороженности»
Если индивидуальные частицы идеально
проводящей жидкости в некоторый начальный
момент времени находились на одной силовой
линии МП, то они останутся на ней во все
последующие моменты времени
Индивидуальные частицы жидкости не могут
пересекать магнитные силовые линии, которые, в свою очередь,
не могут опережать или отставать от движущихся частиц.

Практические следствия «вмороженности» МП
1) Создание сверхсильных импульсных магнитных полей
П.А. Бабат, М.С. Лозинский
(1940) – идея о концентраторе
магнитного потока
(Саров, 1951-52 гг)
Пионерские работы выполнил П.Л.Капица в 20-30 гг ХХ в – до 20-30 Тл
(Лос-Аламос)

2) Объяснение происхождения МП планет и звезд
По современным представлениям звезды (в последующей эволюции – планеты) образуются в результате гравитационного сжатия плазмы
галактических туманностей – космической пыли и межзвездного газа.
В процессе формирования центра гравитации потоки разреженной
плазмы скручиваясь по спирали имеют слабое МП, которое усиливается
по мере сжатия (МП «вмораживается» в образующуюся звезду)
Схема-монтаж образования
звезды (3 первых кадра по данным
наблюдений)
Сверхплотное облако газа и пыли размером
50 световых лет; снимок космического
телескопа «Спитцер» NASA

3) Диффузия МП
«Вмороженность» МП – в чистом виде имеет место только в средах
с σ→∞ (т.е. в сверхпроводниках). Среды с конечной проводимостью
проницаемы для МП – МП будет «диффундировать» в них.
В случае предельно медленных течений v→0 уравнение для МП
Уравнение аналогично уравнению
диффузии или теплопроводности
( − коэффициент магнитной
диффузии)
Рассмотрим задачу о диффузии МП
из вакуума в плазменное
полупространство. Изначально поле
экранируется от плазмы экраном S ,
который в момент t=0 внезапно
убирают.
x
Задача аналогична задаче
Рэлея о приведение в
движение вязкой жидкости
плавающей пластиной

Так как , возникающее в плазме (x≥0) МП H также будет || z .
Поле не зависит от z
Уравнение для поля
решаем при начальном условии
и граничных условиях
В данных условиях задача является одной из ключевых задач
математической физики с известным решением вида
интеграл вероятностей

Проникновение МП в проводник
за заданное время
характеризуется величиной
показывающей расстояние, на
котором МП уменьшается от
значения на границе до
0.01 (представляет собой
аналог глубины скин-слоя)
За неограниченно большое
время t→∞, когда интеграл
вероятности в аналитическом
решении задачи снижается до 0,
имеет место полное
проникновение поля в проводник

5. Волна Альфвена.
Шведский физик Альфвéн Ханнес – лауреат
нобелевской премии (1970) за работы в области
магнитной гидродинамики.
Показал, что в магнитном поле в жидкости
может существовать особый тип чисто поперечной
магнито-гидродинамической волны. Жидкости не
обладают сдвиговой упругостью – сопротивлением
формы. Поэтому, обычно, поперечные волны в
них не существуют.
«Сдвиговая упругость» проводящей жидкости в МП проявляется за счет
эффекта вмороженности силовых линий.
z
x
v, h || z
возвращающая сила натяжения
силовых линий МП

Идеальная (без вязкости, σ→∞) несжимаемая жидкость
Динамическое состояние жидкости характеризуем малыми
величинами: скоростью v⊥ и напряженностью МП h⊥ (h<< )
Исходные уравнения

Так как имеем векторы
получаем
( I )

(II)

Поперечные к постоянному МП динамические МП h и скорость v
удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению и описывают
поперечную МГД-волну Альфвена, распространяющуюся с
постоянной скоростью
В случае идеальной жидкости (плазмы) волна Альфвена не имеет
частотной дисперсии. При учете вязкости и конечной проводимости
она становится дисперсивной и затухающей.
Произвольное распространение плоских волн Альфвена по
отношению к внешнему МП