Плоский изгиб презентация

ΔS
ΔS
ΔS
Все материалы и конструкции, хотя и в весьма различной степени, под действием нагрузки испытывают смещения. Теория упругости - это наука о соотношениях между нагрузками и перемещениями в твердых телах.
Под действием веса обезьяны материал ветки растянут у ее верхней поверхности и сжат у нижней.

Ферма из коротких деталей
Крыша древнегреческого храма
Обычный двухэтажный дом
Последствия использoвания фермы с высоко поднятым ригелем (преувеличено, но не слишком).

Консоль - это балка, один конец которой закреплен в какой-то жесткой основе, например в стенке или в земле . Инженеры называют условия на этом конце просто "заделкой". Свободный вылет консоли подвергается нагружению.
Опоры электропередач и телеграфные столбы, корабельные мачты и лопатки турбин, рога, зубы, шеи животных, деревья, башни и одуванчики - все это консоли, так же как крылья птиц, самолетов и бабочек, хвосты мышей и павлинов.
Консоль с распределенной нагрузкой.
Шарнирно опертая балка
Шарнирно опертая балка - это балка, которая обоими концами свободно покоится на опорах.
Шарнирно опертая балка - это балка, которая обоими концами свободно покоится на опорах. Конструктивно два этих случая тесно связаны между собой. Из рис. вы можете заключить, что шарнирно опертая балка эквивалентна двум соединенным "заделанными" концами и перевернутым консолям
Шарнирную балку можно рассматривать как две соединенные вместе и перевернутые вверх ногами консоли

На легковых автомобилях нагрузка на оси распределяется примерно поровну.
На негруженых двухосных грузовых автомобилях нагрузка на переднюю ось составляет около 40%, а на заднюю — 60%, на груженых — соответственно 30 и 70%.
На трехосных грузовых автомобилях нагрузка по осям распределяется почти равномерно.

Грузовые автомобили с несколькими осями
Замещение нескольких реакций

Силы, действующие на автомобиль (… … полуприцеп)
Распределённая нагрузка
собственный вес автомобиля
реакция опор (колес)
результирующие (шасси)
прочие силы (моменты сил)
… их схематичное изображение для проведения расчетов…

Рис. Изгибающий момент балки.
а) Схема сил, б) эпюра (график) изгибающих моментов,
в) рациональные формы балок.

Жесткость стержней различного сечения, а) Изменение массы при одинаковой жесткости, б) изменение жесткости при одинаковой массе, е) изменение массы при одинаковой жесткости этого сечения.
Например, увеличение ширины прямоугольного бруса в два раза увеличит его жесткость тоже в два раза. Увеличение же высоты бруса в два раза увеличит его жесткость в 8 раз (рис. 46, а). При этом подразумевается, что все силы действуют вертикально. Если они действуют горизонтально, то жесткость пропорциональна кубу ширины. Чтобы не было путаницы, считается, что высота сечения стержня имеет то же направление, что и направление сил. Тогда увеличение высоты всегда значительно выгоднее увеличения ширины. В этом смысле неравнобокий уголок выгоднее устанавливать так, чтобы его большая полка была вертикальной (ее направление совпадает с направлением сил).
Большой интерес представляют полые сечения (рис. 46, 6, в), так как при одинаковой площади сечения полые элементы сопротивляются значительно лучше сплошных. На этом основании существует даже мнение, что труба "работает" лучше, чем сплошной стержень того же диаметра. Это ложное мнение. Если наружный диаметр трубы и стержня одинаковы, то стержень "работает" лучше. Но если мы несколько увеличим диаметр трубы против диаметра сплошного стержня, но при этом площадь сечения возьмем для трубы меньше (на деле это означает, что на трубу пойдет меньше материала, и она будет легче), то можно добиться того, что они будут работать одинаково хорошо, а мы, применив трубу, сэкономим материал и добьемся значительного облегчения. То же самое можно сказать, сравнивая сплошной брус с полым коробом (рис. 46, б).

Изгибом называется такой вид деформации, при котором в сечении детали возникают изгибающие моменты Мх и Му
Если присутствуют оба момента, изгиб называется пространственным,
если отличен от нуля только один из них – изгиб плоский
Деталь, работающая на изгиб, называется балкой
6.1. Внутренние силовые факторы при плоском изгибе
Mx
Q
RA
z
RB
Мх – изгибающий момент (изгиб)
Q – поперечная сила (сдвиг)
При наличии Мх и Q – изгиб называют поперечным
Если Q = 0 - изгиб чистый

ВСМ – внутренние силовые факторы

Правила знаков:
Mx > 0
Mx < 0
Мх = Σ Мслева = Σ Мсправа
Q=Σ Q слева = Σ Qсправа

Примеры практического использования

6.2. Эпюры изгибающего момента и поперечной силы
Расчет балки на прочность ведется по опасному сечению
Опасное сечение определяется визуально по графикам (эпюрам) Мх и Q
Метод сечений:
- рассечь балку плоскостью
- отбросить одну часть
- длину оставшейся части обозначить z
- записать уравнение для изгибающего момента в данном сечении
Мх = Σ Мслева = Σ Мсправа
+
-
- по уравнению построить график (эпюру) изменения Мх
- получить уравнение для поперечной силы Q
Q=Σ Q слева = Σ Qсправа
+
-
или
- по уравнению построить график (эпюру) изменения Q
- по эпюрам определить опасное сечение балки

B
A
Примеры построения эпюр
II
I
b
a
1. Определяем реакции в опорах
ΣMA= -F⋅ a + RB (a+b)=0
ΣMB= +F⋅ b - RA(a+b)=0
+
Проверка:
2. Построение эпюр
Участки балки I и II
Участок I
Слева
0 ≤ z1 ≤ a
- прямая
при z1=0 МХ1=0
при z1= а
Q
Участок II
z2
Слева
a ≤ z2 ≤ a+b
при z2= а
при z2=a+b МХ2=0

M=30кН·м
II
I
1м
z1
B
A
2м
1. Определяем реакции в опорах
ΣMA= -М+ RB ·3 = 0
ΣMB= -М - RA·3 = 0
+
RB=+10кН
RА=-10кН
Проверка:
Σ Y=RA+RB=+10-10=0
2. Построение эпюр
Участок I
Слева
0 ≤ z1 ≤ 1м
- прямая
при z1=0 МХ1=0
при z1=1м МХ1=-10кН·м
-10
-10
Участок II
Справа
0 ≤ z2 ≤ 2м
z2
при z2=0 МХ2=0
при z2=2м МХ2=+20кН·м
+20
-10
Опасное сечение – под моментом
│M │ max =20кН·м
│Q │ max =10кН

L
z
B
A
L/2
qL2/8
1. Определяем реакции в опорах
ΣMA= -(qL)(L / 2)+ RB ·L = 0
ΣMB= + (qL)(L / 2) - RA·L = 0
+
Проверка:
2. Построение эпюр
Слева
qz
0 ≤ z ≤ L
- парабола
Находим значения параболы на границах участка
при z=0 МХ=0
при z=L МХ=0
Исследуем параболу на экстремум
отсюда
Находим экстремум
Строим график параболы по 3 точкам
- прямая
при z=0 Q=RA
при z=L Q=-RB
RA
RB

M=const
Q=0
z
Консольная балка
Mx=-M=const
Q=d Mx / dz =0=const
Чистый изгиб

C
σmax
σ
нейтральный слой
Максимальные нормальные напряжения при изгибе
- момент сопротивления сечения
(57)
Напряжения в любой точке сечения
Формула Навье

6.4 Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям
Условие прочности по нормальным напряжениям σmax≤ [σ ]
При изгибе
Условие прочности при изгибе
(58)
Условие прочности (58) по нормальным напряжениям является основным и служит для проектировочного расчета при изгибе

Определить размеры поперечного сечения балки для четырех вариантов сечения:
- прямоугольного при h/b=2;
- квадратного;
- круглого;
стандартного двутавра.
Сравнить экономичность профилей.
Сила F=20кН. Материал – сталь Ст3
Пример проектировочного расчета балки на прочность
-20
-10
20
B
A
II
I
F
1м
2м
Расчет
1 Определение реакций в опорах
ΣMA=+RB⋅2-F⋅3=0;
ΣMB=-RA⋅2-F⋅1=0
RB=(3/2)F=30кН
RА=-(1/2)F=-10кН
Проверка: ΣY=RA+RB-F=-10+30-20=0
2 Построение эпюр
Участок 1
Слева
0≤ z1≤2м
Мх1=+RА⋅z1
при z1=0 МХ1=0
при z1=2м МХ1=-20кН·м
Участок 2
Справа
0≤ z2≤1м
Мх2=-F⋅z2
при z2=0 МХ2=0
при z2=1м МХ2=-20кН·м
В опасном сечении В
│M │ max =20кН·м
│Q │ max =20кН

3 Расчет балки на прочность по нормальным напряжениям
Условие прочности
│M │ max =20кН·м
[σ ]изг=150МПа
Прямоугольное сечение h×b h/b=2
Из условия прочности
h=2b=58,5⋅2=117 мм
Округляем до нормальных значений: b=60 мм; h=120 мм
Площадь сечения A= b·h =60⋅120=7200 мм2=72 см2
Квадратное сечение а × а
Из условия прочности
Округляем а=95 мм
Площадь сечения A=а2=95⋅95=9025 мм2=90,25 см2

Круглое сечение Ød
Из условия прочности
Площадь сечения A=πd2/4=π(110)2/4=9499мм2=95см2
Стандартный двутавр
Из условия прочности
Wx ≥ |Мх|max/[σ ]изг=20⋅103/(150⋅106)=0,133⋅10-3м3=133см3
По таблице сортамента (Wx )табл=143см3 у двутавра №18
Площадь двутавра A=23,4см2
4 Экономичность сечений
квадрат
прямоугольник
круг
двутавр
1
23,4
72
95
4,1
3,9
3,1
90,25
При изгибе наиболее экономичным является двутавровое сечение

Чтобы найти величину касательных напряжений в произвольной точке В поперечного сечения, нужно:
- определить значение поперечной силы Q в данном сечении (с эпюры поперечной силы)
- совместить ось х в сечении с нейтральной линией
- провести через точку В сечение параллельно нейтральной линии, найти ширину профиля в этом месте b*
- найти центр отсеченной части сечения С*, ее площадь А* и вычислить статический момент отсеченной части сечения относительно нейтральной линии Sx*=А*⋅yC*
- вычислить касательные напряжения по формуле Журавского
Q
C*
b*
В
х
С
уС*
6.5 Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского

Касательные напряжения в прямоугольном сечении балки
Момент инерции сечения Ix= bh3/12
Ширина прямоугольника постоянна
b*=b
Площадь отсеченной части сечения
A*=b⋅(h/2-y)
Координата центра С* отсеченной части
yC*=y+[(h/2-y)/2]=(1/2)⋅(h/2+y)
Статический момент отсеченной части сечения
Sx*=А*⋅yC*=b⋅(h/2-y)⋅(1/2)⋅(h/2+y)=(b/2)⋅[(h/2)2-(y)2]

6.6. Условие прочности при изгибе по касательным напряжениям
τmax≤[τ]
(60)
Пример расчета на прочность балки при изгибе
Для заданной схемы балки определить необходимые размеры прямоугольного сечения деревянного бруса при соотношении сторон h/b=1,5. Значения допускаемых напряжений принять следующие (для древесины хвойных пород при 15% влажности): [σ]изг=8МПа; на скалывание вдоль волокон [τ]ск=1МПа.
Расчет
1 Построение эпюр изгибающего момента и поперечной силы
В опасном сечении
│M │ max =5кН·м
│Q │ max =5кН