Содержание
- 2. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Для решения задач оптимизации многостадийных процессов успешно применяется метод динамического программирования - ДП, который
- 3. Блочная схема многостадийного процесса 1 2 … i N …
- 4. Условные обозначения на схеме каскада аппаратов: - вектор переменных состояния процесса на выходе из i-того аппарата
- 5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Критерий оптимальности на каждой стадии определяется её состоянием:
- 6. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Уравнение математической модели для i –й стадии даёт связь между вектором входных параметров, вектором
- 7. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Рассмотрим задачу: Сырьё определённого состава поступает в каскад из трёх изотермических реакторов 1 2
- 8. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ По техническому регламенту для каждого реактора допускается реализация трёх стационарных состояний, определяемых набором параметров:
- 9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Вектор искомых управляющих переменных на каждой стадии имеет вид: n – число оборотов мешалки
- 10. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Схематическое изображение процесса в рассматриваемом трехстадийном процессе:
- 11. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача оптимизации ставится следующим образом: найти такой набор управлений на каждом из реакторов, чтобы
- 12. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Точка A изображает начальное состояние процесса, которое характеризуется начальным составом сырья, его температурой и
- 13. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Далее переработка сырья во втором реакторе осуществляется таким образом, что на выходе из него
- 14. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Аналогично для третьего реактора точки D1, D2 и D3 соответствуют трём возможным стационарным состояниям
- 15. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Далее предположим, что реализация любого управления на любом реакторе связана с некоторым значением критерия
- 16. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Проще всего эта задача может быть решена обычным перебором (1-ый способ решения), т.е. сравнением
- 17. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Из всех полученных значений R выбирается максимальный и, следовательно, выбирается реализующий его набор управлений.
- 18. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Изложенный метод решения задачи требует реализации большого количества необходимых вычислений. Формула для количества возможных
- 19. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В соответствии с принципом оптимальности, которым необходимо руководствоваться при решении таких задач, и который
- 20. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Если же задача решается изложенным методом динамического программирования (2-ой способ решения), необходимое количество вычислений
- 21. Динамическое программирование Большинство процессов химической технологии относится к классу дискретно распределённых во времени и пространстве процессов.
- 22. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Допустим, что задана конечная концентрация реагента A: Число реакторов в каскаде N. Требуется выбрать
- 23. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Критерий оптимальности является функцией многих переменных, и решение задачи методом неопределённых множителей Лагранжа становится
- 24. Формулировка принципа оптимальности Белмана Оптимальная стратегия обладает таким свойством, что каково бы ни было начальное состояние
- 25. Общая схема решения задач методом динамического программирования При подходе к решению задач оптимизации методом динамического программирования
- 26. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ При выполнении перечисленных условий необходимо правильно формулировать задачу оптимизации. При формулировке должны быть выявлены:
- 27. Математическая формулировка принципа оптимальности 1 2 … i N …
- 28. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Критерий оптимальности на каждой стадии определяется её состоянием:
- 29. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Уравнение математической модели для i –й стадии даёт связь между вектором входных параметров, вектором
- 30. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Решение задачи начинается с последней стадии, где необходимо выбрать оптимальное управление – так, чтобы
- 31. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Используя уравнение математической модели для данной стадии, получим: откуда определяется оптимальное управление которое зависит
- 32. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Переходя к стадии N – 1, получим условие выбора оптимального уравнения: где математическая модель
- 33. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Поскольку f1 уже выбрано, определение f2 даёт возможность выбора оптимального управления на стадии N
- 34. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Проводя аналогичный анализ, для стадии i можно записать:
- 35. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ С учётом φi получим математическую формулировку принципа оптимальности, являющуюся рекуррентной формулой, позволяющей выполнять решение
- 36. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Для первой стадии имеем: откуда определяется оптимальное управление (А) или наряду с оптимальным управлением
- 37. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ На этом завершается 1-этап решения задачи ДП. Второй этап решения Для реализация 2-этапа на
- 38. Произвольная стадия каскада
- 39. Пример 1. Пусть имеется каскад химических реакторов идеального перемешивания, в котором проводится необратимая реакция первого порядка:
- 40. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Нетрудно видеть, что в поставленной задаче оптимизации выполнены условия a, b и с: оптимизируемый
- 41. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Запишем сведения о процессе, необходимые для решения задачи оптимизации: 1. Параметрами, характеризующими состояние каждой
- 42. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ на параметры управления процесса на каждой стадии наложены ограничения: или
- 43. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Составляем математическое описание каждой i-ой стадии (уравнение материального баланса): или
- 44. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Откуда имеем:
- 45. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Составляем критерий оптимальности (Слайд 67) : или
- 46. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Пример 1. ПЕРВЫЙ ЭТАП РЕШЕНИЯ решения выглядит следующим образом: где
- 47. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Концентрация реагента A на выходе из реактора N однозначно определяет время пребывания в нём,
- 48. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В соответствии с общей схемой переходим к предпоследнему реактору:
- 49. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Если вид выражения критерия не сложен, а названное управление - это единственный управляющий параметр,
- 50. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В предпоследнем реакторе необходимо выбрать такое значение x N-1, чтобы выражение в скобках имело
- 51. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Из последнего выражения следует:
- 52. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Поскольку функция f2 дифференцируемая, легко проверить достаточное условие существования экстремума: во всём диапазоне изменения
- 53. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ в точке функция f2 принимает минимальное значение. Следовательно:
- 54. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Чтобы получить минимальное значение времени пребывания в двух последних реакторах, запишем рекуррентное соотношение:
- 55. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Повторим рассмотренную процедуру для третьего от конца реактора. Запишем для него рекуррентное соотношение:
- 56. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Найдём минимум, воспользовавшись необходимым условием существования экстремума функции одной переменной:
- 57. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Откуда получаем:
- 58. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Проверим достаточное условие:
- 59. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Подставив в последнее выражение полученное значение оптимальной концентрации, имеем: т.е. при оптимальном значении концентрации
- 60. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Подставив значение оптимальной концентрации в рекуррентное соотношение, получим:
- 61. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ или после преобразований:
- 62. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Решение задачи выполняется таким же образом последовательно для всех реакторов до первого включительно. Для
- 63. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ и рекуррентного соотношения:
- 64. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Для первого реактора:
- 65. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Поскольку в условии задачи x 0 и xN заданы, k и N неизвестны, из
- 66. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ и для первого реактора:
- 67. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ВТОРОЙ ЭТАП РЕШЕНИЯ На втором этапе решения из полученных соотношений определяются:
- 68. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Для второго реактора имеем:
- 69. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Далее определяется: и т.д. до тех пор, пока не будут получены значения всех оптимальных
- 70. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Далее определяется: и т.д. до тех пор, пока не будут получены значения всех оптимальных
- 71. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Пример 2 В каскаде реакторов идеального перемешивания проводится простая реакция 2-го порядка : A
- 72. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исходные данные: Число аппаратов N = 3 Начальная концентрация компонента A x0 = 1
- 73. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Решение Критерий оптимальности процесса по условию задачи есть: τi - среднее время пребывания в
- 74. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Из уравнения материального баланса для i – го реактора имеем:
- 75. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Первый этап решения Записываем рекуррентное соотношение:
- 76. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Поскольку x3 задано,
- 77. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Функциональное уравнение будем решать графически:
- 78. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Записываем рекуррентное соотношение для f2:
- 79. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- 80. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- 81. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- 82. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- 83. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Записываем рекуррентное соотношение для f2:
- 84. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- 85. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- 86. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Из графических построений определяется: И оптимальное управление, соответствующее f3: Второй этап решения
- 87. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ По найденному значению x1(opt) графически определяем x2(opt):
- 88. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Рассчитываем время пребывания в каждом из аппаратов:
- 89. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- 90. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- 92. Скачать презентацию