Системы счисления презентация

Системы счисления
Основные понятия
1
2
3
4
Непозиционные системы
Позиционные системы
Двоичное кодирование текстовой информации

Система счисления –это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Цифры – это знаки, используемые при записи чисел. Сами знаки составляют алфавит системы счисления.
Определения

Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.
Числа:
123, 45678, 1010011, CXL
Цифры:
0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типы систем счисления:
непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
позиционные – зависит…
Определения

Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день,
1 камень, 1 баран, …)
Римская:
I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони), L – 50,
C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)
Непозиционные системы

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =1000+ 500+ 100– 10+ 50– 1+ 5= 1644
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
ММ
ССС
LXXX
IX

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =1000+ 500+ 100– 10+ 50– 1+ 5= 1644
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
ММ
ССС
LXXX
IX

Римская система счисления
Недостатки:
для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
как записать дробные числа?
как выполнять арифметические действия:
CCCLIX + CLXXIV =?
Где используется:
номера глав в книгах:
обозначение веков: «Пираты XX века»
циферблат часов

Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)

Позиционные системы
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Десятичная система:
первоначально – счет на пальцах
изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основание (количество цифр): 10
3 7 8
2 1 0
разряды
8
70
300
= 3·102 + 7·101 + 8·100
Другие позиционные системы:
двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
двадцатеричная (1 франк = 20 су)
шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Перевод целых чисел
Двоичная система:
Алфавит: 0, 1
Основание (количество цифр): 2
10 → 2
2 → 10
19
19 = 100112
система счисления
100112
4 3 2 1 0
разряды
= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

Примеры:
1010112 =
1101102 =

Метод подбора
10 → 2
75 = 10011012
наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу
6543210
разряды
64 = 26 = 10000002
75 = 64 + 13
13 = 8 + 5
8 = 23 = 10002
64 ≤ 75 < 128
26
27
5 = 4 + 1
4 = 22 = 1002
1 = 1
1 = 20 = 12
75 = 26 + 23 + 22 + 20 = 10011012
+
75
6543210

Перевод дробных чисел
10 → 2
2 → 10
0,375 =
× 2
101,0112
2 1 0 -1 -2 -3
разряды
= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375
,750
0
0,75
× 2
,50
1
0,5
× 2
,0
1
0,7 = ?
0,7 = 0,101100110…
= 0,1(0110)2
Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей.
Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.
Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой.
0,0112

Примеры:
0,625 =
3,875 =

Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1
перенос
заем
1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12
1
∙
0
0
∙
0
1
1
0
2
1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12
1
∙
∙
0 102
1
0
0 1 1 102
0
1
0
∙
∙
∙

Примеры:

Примеры:

Арифметические операции
умножение
деление
1 0 1 0 12
× 1 0 12
1 0 1 0 12
+ 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
1 0 1 0 12
– 1 1 12
1 1 12
1
1 1 12
– 1 1 12
0

Плюсы и минусы двоичной системы
нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
надежность и помехоустойчивость двоичных кодов;
выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными.
простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей;
двоичные числа имеют много разрядов;
запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

Двоично-десятичная система
BCD = binary coded decimals (десятичные цифры в двоичном коде)
9024,19 = 1001 0000 0010 0100, 0001 1001BCD
9 0 2 4 , 1 9
1 0101 0011, 0111 1BCD =
0001 0101 0011, 0111 1000 BCD = 153,78
10 → BCD
BCD → 10
10101,1 BCD = 15,8
10101,1 2 = 16 + 4 + 1 + 0,5 = 21,5

Восьмеричная система
Основание (количество цифр): 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10 → 8
8 → 10
100
100 = 1448
система счисления
1448
2 1 0
разряды
= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100

Примеры:
134 =
75 =
1348 =
758 =

Таблица восьмеричных чисел

Перевод в двоичную и обратно
8
10
2
трудоемко
2 действия
8 = 23
17258 =
1 7 2 5 001
111
010
1012
{
{
{
{

Примеры:
34678 =
21488 =
73528 =
12318 =

Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
001 001 011 101 1112
Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:
1
3
5
7
Ответ: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1

Примеры:
1011010100102 =
111111010112 =
11010110102 =

Арифметические операции
сложение
1 5 68
+ 6 6 28
∙
1
6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0
∙
1 в перенос
1 в перенос
∙
08
0
4
1 в перенос

Пример

Арифметические операции
вычитание
4 5 68
– 2 7 78
∙
(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1
∙
заем
78
1
5
заем

Примеры

Шестнадцатеричная система
Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10 → 16
16 → 10
107
107 = 6B16
система счисления
1C516
2 1 0
разряды
= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453
A,
10
B,
11
C,
12
D,
13
E,
14
F
15
B
C

Примеры:
171 =
206 =
1BC16 =
22B16 =

Таблица шестнадцатеричных чисел

Перевод в двоичную систему
16
10
2
трудоемко
2 действия
16 = 24
7F1A16 =
7 F 1 A
0111
{
{
1111 0001
10102
{
{

Примеры:
C73B16 =
2FE116 =

Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001 0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ: 10010111011112 = 12EF16

Примеры:
10101011010101102 =
1111001101111101012 =
1101101101011111102 =

Перевод в восьмеричную и обратно
трудоемко
3DEA16 =
11 1101 1110 10102
16
10
8
2
Шаг 1. Перевести в двоичную систему:
Шаг 2. Разбить на триады:
Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:
011 110 111 101 0102
3DEA16 = 367528

Примеры:
A3516 =
7658 =

Арифметические операции
сложение
A 5 B16
+ C 7 E16
∙
1 6 D 916
10 5 11
+ 12 7 14
11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6
∙
1 в перенос
1 в перенос
13
9
6
1

Пример:
С В А16
+ A 5 916

Арифметические операции
вычитание
С 5 B16
– A 7 E16
заем
∙
1 D D16
12 5 11
– 10 7 14
∙
(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1
заем
13
1
13

Пример:
1 В А16
– A 5 916

Троичная уравновешенная система
Задача Баше:
Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

Троичная уравновешенная система
+ 1 гиря справа
0 гиря снята
– 1 гиря слева
Веса гирь:
1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг
Пример:
27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг
1 1 1 13ур =
Реализация:
ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)
50 промышленных образцов
40

Измерение информации
Содержательный подход к измерению информации. Сообщение – информативный поток, который в процессе передачи информации поступает к приемнику. Сообщение несет информацию для человека, если содержащиеся в нем сведения являются для него новыми и понятными Информация - знания человека ? сообщение должно быть информативно. Если сообщение не информативно, то количество информации с точки зрения человека = 0. (Пример: вузовский учебник по высшей математике содержит знания, но они не доступны 1-класснику)

Измерение информации
Алфавитный подход к измерению информации не связывает кол-во информации с содержанием сообщения. Алфавитный подход - объективный подход к измерению информации. Он удобен при использовании технических средств работы с информацией, т.к. не зависит от содержания сообщения. Кол-во информации зависит от объема текста и мощности алфавита. Ограничений на max мощность алфавита нет, но есть достаточный алфавит мощностью 256 символов. Этот алфавит используется для представления текстов в компьютере. Поскольку 256=28, то 1символ несет в тексте 8 бит информации.

Измерение информации
Вероятностный подход к измерения информации. Все события происходят с различной вероятностью, но зависимость между вероятностью событий и количеством информации, полученной при совершении того или иного события можно выразить формулой которую в 1948 году предложил Шеннон.
Формула Шеннона
I - количество информации
pi – вероятности отдельных событий
N – количество возможных событий
Количество информации достигает max значения, если события равновероятны, поэтому количество информации можно рассчитать по формуле

Единицы измерения
1 бит (binary digit, двоичная цифра) – это количество информации, которое мы получаем при выборе одного из двух возможных вариантов (вопрос: «Да» или «Нет»?)

Единицы измерения
1 байт (bytе) = 8 бит
1 Кб (килобайт) = 1024 байта
1 Мб (мегабайт) = 1024 Кб
1 Гб (гигабайт) = 1024 Мб
1 Тб (терабайт) = 1024 Гб
1 Пб (петабайт) = 1024 Тб
210

Информационный вес символа произвольного алфавита
Информационный вес символа алфавита i и мощность алфавита N связаны между собой соотношением: N = 2i.
Информационный объём сообщения
Информационный объём сообщения (количество информации в сообщении), представленного символами естественного или формального языка, складывается из информационных весов составляющих его символов.
Информационный объём сообщения l равен произведению количества символов в сообщении K на информационный вес символа алфавита i;
l = K * i.

Информационный вес символа произвольного алфавита
Задача. Сообщение, записанное буквами 32-символьного алфавита, содержит 140 символов. Какое количество информации оно несёт?
Решение.
N = 32
К = 140
I - ?

Задача. Информационное сообщение объёмом 720 битов состоит из 180 символов. Какова мощность алфавита, с помощью которого записано это сообщение?
Решение.
I = 720
К = 180
N - ?

Задача. Информационное сообщение объёмом 4 Кбайта состоит из 4096 символов. Каков информационный вес символа используемого алфавита? Сколько символов содержит алфавит, с помощью которого записано это сообщение?
Решение.
I = 4 Кб
К = 4096
i-?
N -?
I = 4 Кб = 4 * 1024 * 8 битов

Кодовые таблицы
Cначала применялась 7-битная кодировка, которая могла представить 128 символов. С распространением IBM PC международным стандартом стала таблица кодировки ASCII (American Standart Code for Information Interchange) – Американский стандартный код для информационного обмена.
Кодирование текстовой информации

Таблица кодировки ASCII
Позже она была расширена до 8 бит (256 символов) и дошла в таком виде практически до сегодняшнего дня. При этом первая половина (символы 0-127) были всегда одни и те же, соответствующие стандарту ASCII, а вторая половина таблицы (символы 128-255) менялась в зависимости от страны, где она использовалась.

Стандартная часть таблицы

Таблица расширенного кода ASCII
Кодировка Windows-1251 (CP1251)

Кодовые таблицы для русских букв
В настоящее время существует 5 разных кодовых таблиц для русских букв (КОИ8, СР1251, СР866, Mac, ISO).
Широкое распространение получил новый международный стандарт Unicode, который отводит на каждый символ два байта. С его помощью можно закодировать 65536 (216= 65536) различных символов.

Кодовые таблицы
В Советском Союзе различные организации и сети, имевшие большое влияние на компьютерный и программный рынок тех времен, создавали свои кодировки (т.е. вторые половины таблицы), содержащие русские символы.

Проблемы с кодировками
Проблемы с кодировками делятся на несколько типов. Первый тип - это отсутствие информации о кодировке.

Проблемы с кодировками
Проблемы второго типа - это когда кодировка в файле указана, но конечная программа такой кодировки не знает.

Проблемы с кодировками
Третий тип проблем, наоборот, связан с избытком информации о кодировках.
Это актуальная в настоящее время проблема (например, для веб-страниц).

Обратите внимание!
Цифры кодируются по стандарту ASCII в двух случаях – при вводе-выводе и когда они встречаются в тексте. Если цифры участвуют в вычислениях, то осуществляется их преобразование в другой двоичных код.

Обратите внимание!
Возьмем число 57.
При использовании в тексте каждая цифра будет представлена своим кодом в соответствии с таблицей ASCII. В двоичной системе это – 0011010100110111.
При использовании в вычислениях, код этого числа будет получен по правилам перевода в двоичную систему и получим – 00111001.

Компьютерные редакторы, в основном, работают с алфавитом размером 256 символов.
В этом случае легко подсчитать объем информации в тексте. Если 1 символ алфавита несет 1 байт информации, то надо просто сосчитать количество символов; полученное число даст информационный объем текста в байтах.

Формулы для расчета информационного объема текста
I=K×i, где
I-информационный объем сообщения
K- количество символов в тексте
i- информационный вес одного символа
2i = N
N- мощность алфавита

Задачи: текст
Сколько места в памяти надо выделить для хранение предложения Привет, друг!
Ответ: 13 байт или 104 бита
(в UNICODE: 26 байт или 208 бит)
считаем все символы, включая знаки препинания (здесь 13 символов)
если нет дополнительной информации, то считаем, что 1 символ занимает 1 байт
в кодировке UNICODE 1 символ занимает
2 байта

Задачи: текст
Сколько места надо выделить для хранения 10 страниц книги, если на каждой странице помещаются 32 строки по 64 символа в каждой?
на 1 странице 32·64=2048 символов
на 10 страницах 10·2048=20480 символов
каждый символ занимает 1 байт
Решение:
Ответ:
20480 байт или …
20480·8 бит или …
20480:1024 Кб = 20 Кб

Задачи: кодирование
Объем сообщения, содержащего 1024 символов, составил 1/512 часть мегабайта. Какова мощность алфавита, с помощью которого записано сообщение?
объем сообщения в битах: 1024·1024·8 бит / 512 =16348 бит
на 1 символ приходится
16384 / 1024 = 16 бит
мощность алфавита 216 = 65536 символов
Решение:
Ответ:
65536 символов (кодировка UNICODE)

Задачи: обмен информацией
Скорость передачи данных через ADSL-соединение равна 256000 бит/c. Передача файла через это соединение заняла 2 минуты. Определите размер файла в килобайтах.
время передачи: 2·60 сек=120 сек
передано информации
256 ·1000·120 бит = 28· 23·125 · 22·30 бит=
Решение:
Ответ:
объем файла 3750 Кб
213·125·30
Кб
213

Задачи: рисунок
Для хранения растрового рисунка размером 32х64 пикселя выделили
2 Кб памяти. Каково максимально возможное количество цветов в палитре?
общее число пикселей: 32·64=25 · 26=211
память
2 Кб =2 · 210 байта = 211 байта= 214 бита
на 1 пиксель приходится
214:211 = 23 = 8 бит
8 бит ⇒ выбор 1 из 256 вариантов
Решение:
Ответ:
не более 256 цветов

Задачи: рисунок
Сколько места в памяти надо выделить для хранения 16-цветного рисунка размером 32 на 64 пикселя?
общее число пикселей: 32·64=2048
при использовании 16 цветов
на 1 пиксель отводится 4 бита
(выбор 1 из 16 вариантов)
Решение:
Ответ:
2048·4 бита = 8192 бита или …
2048·4:8 байта = 1024 байта или …
1024:1024 Кб = 1 Кб