Слайд 2
![§1 Плоскость. Уравнение плоскости Уравнение плоскости, проходящей через данную точку](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-1.jpg)
§1 Плоскость. Уравнение плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному
вектору
Пусть на плоскости задана точка М0(x0, y0, z0),
и вектор перпендикулярный плоскости.
Вектор называют
нормальным вектором плоскости.
Пусть М (x, y, z)– произвольная
точка плоскости.
Слайд 3
![Произвольная точка М принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-2.jpg)
Произвольная точка М принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы
перпендикулярны, а значит, их скалярное произведение равно нулю:
или в координатной форме:
(1)
Слайд 4
![Общее уравнение плоскости (2) Коэффициенты A, B, C есть координаты](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-3.jpg)
Общее уравнение плоскости
(2)
Коэффициенты A, B, C есть координаты нормального вектора
плоскости.
Уравнение плоскости (2) есть уравнение первой степени относительно x, y, z.
Справедливо и обратное: всякое уравнение первой степени определяет плоскость.
Слайд 5
![Неполные уравнения плоскости Выделим следующие случаи: Если в уравнении плоскости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-4.jpg)
Неполные уравнения плоскости
Выделим следующие случаи:
Если в уравнении плоскости отсутствует переменная х,
то плоскость параллельна оси Ох.
Если в уравнении плоскости отсутствует переменная y (или z), то плоскость параллельна оси Oy (или Oz).
Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменные, например, х и у, то плоскость параллельна плоскости Оху.
Слайд 6
![Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей Угол между](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-5.jpg)
Угол между плоскостями. Условие параллельности
и перпендикулярности плоскостей
Угол между плоскостями α1
и α2 определяется как угол между их нормальными векторами
Поэтому
Слайд 7
![Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-6.jpg)
Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы
коллинеарны,
т.е.
Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, т.е.
Слайд 8
![Расстояние от точки до плоскости Рассмотрим плоскость с уравнением Ax+By+Cz+D=0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-7.jpg)
Расстояние от точки до плоскости
Рассмотрим плоскость с уравнением
Ax+By+Cz+D=0 и точку
М0(x0, y0, z0).
Опустим из точки М0 на плоскость перпендикуляр М0O.
Тогда искомое расстояние
Слайд 9
![Пример 1. Найти расстояние от точки M(–1, 4, 5) до](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-8.jpg)
Пример 1. Найти расстояние от точки M(–1, 4, 5) до плоскости,
проходящей через точку M0(3, –1, 0) перпендикулярно вектору
Слайд 10
![Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки A(1,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-9.jpg)
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки A(1, 2,
3); B(0, –2, 1);
C(–4, – 3, 2).
Слайд 11
![§2 Прямая в пространстве Канонические уравнения прямой Пусть дана точка](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-10.jpg)
§2 Прямая в пространстве
Канонические уравнения прямой
Пусть дана точка M0(х0, y0, z0)
,
лежащая на прямой, и вектор
параллельный прямой
(он называется направляющим вектором прямой).
Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения вида:
Слайд 12
![Параметрические уравнения прямой Обозначим коэффициент пропорциональности в полученном соотношении через](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-11.jpg)
Параметрические уравнения прямой
Обозначим коэффициент пропорциональности в полученном соотношении через t, получим
параметрические уравнения прямой в пространстве:
Слайд 13
![Пример . Найти точку Q, симметричную точке P(2, −5, 7) относительно прямой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-12.jpg)
Пример . Найти точку Q, симметричную точке
P(2, −5, 7) относительно
прямой
Слайд 14
![Общие уравнения прямой в пространстве Пусть прямая l является линией](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-13.jpg)
Общие уравнения прямой в пространстве
Пусть прямая l является линией пересечения двух
непараллельных плоскостей α1 и α2.
Тогда координаты всех точек прямой
удовлетворяют уравнениям первой
и второй плоскости, т.е. системе
уравнений
Система уравнений называется общими уравнениями прямой в пространстве.
Слайд 15
![Пример. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-14.jpg)
Пример. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:
Слайд 16
![Угол между прямой и плоскостью Угол φ между прямой и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-15.jpg)
Угол между прямой и плоскостью
Угол φ между прямой и плоскостью
есть угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Рассмотрим дополнительный угол
Тогда
Слайд 17
![Расстояние от точки до прямой в пространстве Требуется найти расстояние](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-16.jpg)
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Требуется найти расстояние d
от
точки М1 до прямой l.
Пусть М0 − известная точка на прямой,
− направляющий вектор прямой. Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах
С одной стороны, площадь параллелограмма
С другой стороны
Слайд 18
![Поэтому расстояния d от точки М1 до прямой l, проходящей через точку М0, вычисляется по формуле:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-17.jpg)
Поэтому расстояния d от точки М1 до прямой l, проходящей через
точку М0, вычисляется по формуле:
Слайд 19
![§3 Взаимное расположение двух прямых в пространстве, прямой и плоскости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-18.jpg)
§3 Взаимное расположение двух прямых в пространстве, прямой и плоскости
Пусть
Тогда −
направляющие векторы прямых ,
− точки на прямых.
Слайд 20
![Прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, т.е. или причем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-19.jpg)
Прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, т.е. или
причем точка
Прямые совпадают, если их направляющие векторы коллинеарны и точка одной прямой лежит на другой прямой:
Слайд 21
![Прямые пересекаются, если лежат в одной плоскости и − компланарны,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-20.jpg)
Прямые пересекаются, если лежат в одной плоскости и − компланарны,
тогда
Прямые скрещивающиеся, если не параллельны и не лежат в одной плоскости:
и
Слайд 22
![Пример. Определить взаимное расположение прямых Вычислить угол между ними.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-21.jpg)
Пример. Определить взаимное расположение прямых
Вычислить угол
между ними.
Слайд 23
![Пусть Прямая параллельна плоскости, если векторы Прямая лежит в плоскости, если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-22.jpg)
Пусть
Прямая параллельна плоскости, если векторы
Прямая лежит в плоскости, если
Слайд 24
![Прямая пересекает плоскость, если векторы не ортогональны. Пример. Выяснить взаимное](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-23.jpg)
Прямая пересекает плоскость, если векторы
не ортогональны.
Пример. Выяснить взаимное расположение
прямой, проходящей через точки М1(−1, 0, 1), М2(3, −2, 1) и плоскости 2x−3y+2z+5=0.
Слайд 25
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-24.jpg)
Слайд 26
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-25.jpg)
Слайд 27
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-26.jpg)
Слайд 28
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/182330/slide-27.jpg)