Слайд 2
![ЗМІСТ Невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-1.jpg)
ЗМІСТ
Невизначений інтеграл.
Властивості невизначеного інтеграла. Визначений інтеграл.
Формула Ньютона-Лейбніца.
Властивості визначеного інтеграла.
Основні
поняття теорії диференціальних рівнянь.
Слайд 3
![Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення Означення. Функція F(x) називається](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-2.jpg)
Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення
Означення. Функція F(x) називається первісною функції
f(x) на деякому проміжку, якщо для кожного х з цього проміжку
Наприклад функція cosx являється первісною для функції – sinx, тому що
Слайд 4
![Первісна та невизначений інтеграл Очевидно, якщо F(x) – первісна функції](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-3.jpg)
Первісна та невизначений інтеграл
Очевидно, якщо F(x) – первісна функції f(x),
то , де С –деяка постійна, також являється первісною для функції f(x). Якщо F(x) є будь – яка первісна для функції f(x), то всяка функція виду Ф(х)= також являється первісною для функції f(x)
Слайд 5
![Первісна та невизначений інтеграл Означення. Сукупність всіх первісних функції f(x),визначених](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-4.jpg)
Первісна та невизначений інтеграл
Означення. Сукупність всіх первісних функції f(x),визначених на
деякому проміжку, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і позначається
Слайд 6
![Первісна та невизначений інтеграл Якщо F(x) – деяка первісна для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-5.jpg)
Первісна та невизначений інтеграл
Якщо F(x) – деяка первісна для функції
f(x), то пишуть = , хоча логічніше писати = . Ми по існуючих правилах будемо писати
= . Таким чином один і той же символ буде визначати як всю сукупність первісних функції f(x), так і будь – який елемент цієї множини
Слайд 7
![Властивості інтеграла, котрі випливають з означення Первісна невизначеного інтегралу рівна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-6.jpg)
Властивості інтеграла, котрі випливають з означення
Первісна невизначеного інтегралу рівна підінтегральній
функції, а його диференціал – його підінтегральному виразу. Тобто:
Слайд 8
![Властивості інтеграла, котрі випливають з означення Невизначений інтеграл від неперервно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-7.jpg)
Властивості інтеграла, котрі випливають з означення
Невизначений інтеграл від неперервно диференційованої функції
дорівнює самій цій функції з точністю до постійної.
Так як являється первісною для
Слайд 9
![Властивості інтегралу](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-8.jpg)
Слайд 10
![Таблиця невизначених інтегралів](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-9.jpg)
Таблиця невизначених інтегралів
Слайд 11
![Таблиця невизначених інтегралів](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-10.jpg)
Таблиця невизначених інтегралів
Слайд 12
![Методи інтегрування Метод інтегрування заміни змінної. Метод інтегрування по частинах. Метод безпосереднього інтегрування](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-11.jpg)
Методи інтегрування
Метод інтегрування заміни змінної.
Метод інтегрування по частинах.
Метод безпосереднього інтегрування
Слайд 13
![Метод інтегрування заміни змінної. Нехай потрібно знайти , причому безпосередньо](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-12.jpg)
Метод інтегрування заміни змінної.
Нехай потрібно знайти , причому безпосередньо підібрати первісну
для ми не можемо, але нам відомо, що вона існує. Часто вдається найти первісну, ввівши нову змінну, по формулі:
де , а - нова змінна
Слайд 14
![Метод інтегрування по частинах. Цей метод заснований на формулі:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-13.jpg)
Метод інтегрування по частинах.
Цей метод заснований на формулі:
Слайд 15
![Метод безпосереднього інтегрування Приклад. Обчислити](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-14.jpg)
Метод безпосереднього інтегрування
Приклад. Обчислити
Слайд 16
![Визначений інтеграл. Означення. Вираз , де , називається інтегральною сумою функції на відрізку](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-15.jpg)
Визначений інтеграл.
Означення. Вираз , де
, називається інтегральною
сумою функції на відрізку
Слайд 17
![Визначений інтеграл. Означення. Якщо існує , яка не залежить ні](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-16.jpg)
Визначений інтеграл.
Означення. Якщо існує , яка не залежить ні від способу
розбиття відрізку на частини, ні від вибору точок , то така границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається
Слайд 18
![Властивості визначеного інтегралу](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-17.jpg)
Властивості визначеного інтегралу
Слайд 19
![Властивості визначеного інтегралу](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-18.jpg)
Властивості визначеного інтегралу
Слайд 20
![Обчислення визначеного інтегралу Теорема. Нехай - первісна функції Тоді Цю](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/5689/slide-19.jpg)
Обчислення визначеного інтегралу
Теорема. Нехай - первісна функції Тоді
Цю формулу називають
формулою Ньютона – Лейбніца, з якої випливає, що для обчислення визначеного інтегралу необхідно знайти первісну від підінтегральної функції.