Четыре замечательные точки треугольника презентация

Теорема №1
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон1.
Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от его сторон угла, лежит на его биссектрисе.
1 т.е равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.
в Оглавление

Доказательство
ΔАМК = ΔАМL (т. к. АМ -общая гипотенуза, МК = МL) ⇒ ∠ВАМ = ∠МАС ⇒ луч АМ- биссектриса ∠ВАС
В
L
К
М
С
А
1) Возьмем произвольную точку М на биссектрисе ∠ВАС
МК ⊥ АВ, МL ⊥ AC.
МК = МL (т.к ΔАМК = ΔАМL по гипотенузе и острому углу).
2) Точка М лежит внутри ∠ВАС и равноудалена от его сторон АВ, АС.
в Оглавление

Следствие
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
О - точка пересечения биссектрис АА1, ВВ1 ΔАВС.
А
В
С
М
В1
С1
К
А1
L
О
Проведем ОК ⊥ АВ, ОL ⊥ ВС, ОМ ⊥ СА. ОК = ОМ и ОК = ОL ⇒ ОМ = ОL.
т.е точка О равноудалена от сторон ∠АВС ⇒ О ∈ биссектрисе СС1 этого угла, ⇒ ВВ1 ∩ СС1 ∩ АА1 = О
в Оглавление

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
А
В
а
в Оглавление

Теорема №2
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
в Оглавление

Доказательство
1) Прямая m- серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
М
А
В
О
m
N
A
B
O
m
Точка О - середина этого отрезка.
Докажем, что АМ = МВ.
ΔАМО = ΔМОВ (по двум катетам) ⇒ АМ = МВ
2) Точка N равноудалена от концов отрезка.
Докажем, что точка N лежит на прямой m.
ΔАNВ - равноб. (т.к АN = NВ). NО - медиана и высота ⇒
NO ⊥ АВ, поэтому прямые ОN и m совпадают, т.е N- точка прямой m.
в Оглавление

Следствие
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство:
m ⊥ ВА, n ⊥ ВС.
В
А
С
О
n
m
р
По теореме о серединном перпендикуляре ОВ = ОА и ОВ = ОС ⇒ ОА = ОС
Т.е точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре p к этому отрезку ⇒ перпендикуляры m, n и p пересекаются в точке О.
в Оглавление

Теорема №3
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство
Проведем через каждую вершину Δ АВС прямые:
С2В2 II ВС, С2А2 II АС,
А2В2 II АВ. Получим ΔА2В2С2 .
В
С2
В2
А
С
А2
В1
С1
А1
Точки А, В и С являются серединами сторон Δ А2В2С2 ⇒ АВ = А2С и
СВ2 = АВ как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2 ⇒ А2С = СВ2. Аналогично
С2А = АВ2 и С2В = ВА2
СС1 ⊥ А2В2 , АА1 ⊥ В2С2 и
ВВ1 ⊥ А2С2 ⇒ АА1 ⊥ С2В2,
ВВ1 ⊥ СС2 и СС1 ⊥ В2А2 ⇒ они пересекаются в одной точке.
в Оглавление

Задача №1
В треугольнике АВС, изображённом на рисунке, АС = ВС = АВ, ВМ = МС.
По условию задачи ∠АОС = ∠ВСО и АС = ВС, т. е. отрезок СО является биссектрисой равнобедренного треугольника, а поэтому она является также медианой и высотой. Следовательно, прямая СО проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку, т. е. является серединным перпендикуляром к стороне АВ.
Т
С
А
В
М
О
ВТ ⊥ АС, ∠АОС = ∠ВСО. Какая из прямых СО, ВТ является серединным перпендикуляром к стороне треугольника АВС.
Решение
в Оглавление