Четыре замечательные точки треугольника. Блиц-опрос. Найдите угол МАВ презентация

Блиц-опрос. Найдите угол МАВ.
О
1420
710

Блиц-опрос. Найдите угол МАВ.
О
1610
1610 : 2 = 160060/ : 2
= 80030/
80030/

Блиц-опрос. Найдите дугу АВ.
М
А
В
О
= 1720
860
1720

Блиц-опрос. Найдите дугу АВ.
М
А
В
О
= 89050/
44055/

А
С
В
Свойство медиан треугольника.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
В1
А1
О
СО
С1О
=
С1
1

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
В
А
Теорема
С

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
В
А
Обратная теорема
С

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
В
А
Следствие
С
ОМ=ОК
По теореме
о биссектрисе
угла
=
По обратной теореме т. О лежит на биссектрисе угла С
ОМ
ОL
2

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему.
М
В
Определение
Прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку.

Каждая точка серединного перпендикуляра
к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
B
A
Теорема

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Обратная теорема

По теореме о
серединном перпендикуляре к отрезку
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
C
B
Следствие
A
ОA=ОB
ОB =ОC
=
По обратной теореме т. О лежит на сер. пер. к отрезку АС
ОA
ОC
3

Высоты треугольника
(или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Теорема
C
B
A
По теореме о серединных перпендикулярах: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
4

Замечательные точки треугольника.

Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии!
Точка, обладающая таким свойством, называется
центром тяжести треугольника.

А
В
С
К
М
Т
Высоты тупоугольного треугольника пересекаются
в точке О, которая лежит во внешней области треугольника.
Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С.
Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника.
А
В
С
Точка пересечения
высот называется
ортоцентр.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
Эта точка замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Эта точка замечательная –
точка пересечения
серединных перпендикуляров
к сторонам треугольника
является центром описанной окружности.
Серединным перпендикуляром к отрезку
называется прямая, проходящая через
середину данного отрезка и
перпендикулярно к нему.

ДЗ

D
В
С
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник.
А
E
А многоугольник называется описанным около этой окружности.

В
С
А
В любой треугольник можно вписать окружность.
Теорема
Доказать, что в треугольник можно вписать окружность

D
В
С
Какой из двух четырехугольников АВСD или АЕКD является описанным?
А
E
К

D
В
С
В прямоугольник нельзя вписать окружность.
А

D
В
С
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
А
E
R
N
F

D
В
С
Верно и обратное утверждение.
А
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
ВС + АD = АВ + DC

D
В
С
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника.
А
E
А многоугольник называется вписанным в эту окружность.

В
С
А
Около любого треугольника можно описать
окружность.
Теорема

D
В
С
Какой из многоугольников, изображенных на рисунке является вписанным в окружность?
А
E
L
P
X
E

А
В
D
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.
С
3600

?
590
?
900
?
650
?
1000
D
А
В
С
800
1150
D
А
В
С
1210
Найти неизвестные углы четырехугольников.