Дифференциальное исчисление функций одной переменной презентация

ЛЕКЦИЯ на тему:
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

План лекции
1.1 Дифференциальное исчисление, история создания и область применения.
1.2 Определение производной функции.
1.3 Производные основных элементарных функций. Свойства производной.
1.4 Дифференциал функции.
1.5 Производные и дифференциалы высших порядков.
1.6 Теоремы о дифференцируемых функциях.
1.7 Правило Лопиталя.
1.8 Исследование функций

1.1 Дифференциальное исчисление, история создания и область применения.
Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций.

Дифференциальное исчисление было создано
Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем в конце
17 столетия для решения двух основных задач:
- нахождения касательной к произвольной линии
- определение скорости при произвольном законе движения V(t) =S′(t).

Большой вклад в изучение дифференциального
исчисления внесли
Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс

И. Ньютон, изучая законы механики, ввёл понятие производной, тем самым раскрыл её механический смысл.
Производная одно из
фундаментальных
понятий математики.
Оно возникло в связи с
необходимостью решения
ряда задач из физики, механики и математики

Производная используется при решении
следующих задач:
все задания на построение
касательной к графику функции;
нахождение промежутков
возрастания и убывания;

Производная используется при решении
следующих задач:
нахождение точек экстремума;
нахождение наибольшего и наименьшего значения функции;

Производная используется при решении
следующих задач:
построение графиков с помощью производной;

Производная используется при решении
следующих задач:
решение задач методом математического моделирования.
Например:
Каким должен быть прямоугольник, чтобы его площадь при
заданном периметре p была максимальной?

1.2 Определение производной функции
Пусть y = f(x) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Придадим x0 приращение Δx такое, что x0 + Δx∈D(f) . Функция при этом получит приращение
Δ y =Δf(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0) .

Определение. Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента Δx, при Δx → 0 (если этот предел существует и конечен), т.е.
Обозначают:
Производной функции y = f(x) в точке x0 справа (слева) называется
(если этот предел существует и конечен).
Обозначают:
- производная функции в т. x0 справа
- производная функции в т. x0 слева

ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условие существования производной).
Функция y = f(x) имеет производную в точке x0 ⇔ в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем
ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие существования производ-
ной функции в точке).
Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0 , то функция f(x) в этой точке непрерывна.
Замечание. Непрерывность функции в точке x0 не является достаточным условием существования в этой точке производной функции.
Например, функция y = | x | непрерывна на всей области определения, но не имеет производной в точке x0 = 0.

1) Физический смысл производной.
Если функция y = f(x) и её аргумент x являются физическими величинами, то производная f ′(x) – скорость изменения величины y относительно величины x .
ПРИМЕРЫ.
а) Пусть S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t.
Тогда производная S ′ (t0) – скорость в момент времени t0.
б) Пусть q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t.
Тогда q ′ (t0) – скорость изменения количества электричества в момент времени t0, т.е. сила тока в момент времени t0.
в) Пусть m = m(x) – масса отрезка [a ; x].
Тогда m ′ (x) – скорость изменения массы в точке x0, т.е. линейная плотность в точке x0.
Физический и геометрический смысл производной

Рассмотрим кривую y = f(x).
Пусть в точке M0(x0 ; f(x0)) она имеет невертикальную касательную M0N.
Таким образом, получили: f ′(x0)=tgβ – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)).
β-угол наклона касательной к графику функции в данной точке.
(геометрический смысл производной функции в точке).
⇒Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) можно записать в виде

1.3 Свойства производных.
Производные элементарных функций.
Свойства производных:
1) Производная константы равна нулю, т.е.
C ′ = 0, где С – константа.
2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е.
3) Производная произведения находится по правилу:

, где С – константа.
5) Производная дроби находится по правилу:
6) Если функция ϕ(t) имеет производную в точке t, а функция f(u) имеет производную в точке u = ϕ(t), то сложная функция y = f(ϕ(t)) имеет производную в точке t, причем
(правило дифференцирования сложной функции).
7) ТЕОРЕМА 3 (о производной обратной функции).
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке x0, причем f ′(x0) ≠ 0. Если существует обратная функция x = ϕ(y), то она имеет производную в точке y0 = f(x0) и

Функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки х, называется дифференцируемой в этой точке, если полное приращение функции, соответствующее приращению Δх, можно представить в виде:
Теорема(НиД условие дифференцируемости функции в точке)
Для того, чтобы функция y = f(x) была дифференцируема в точке х, необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная в этой точке f´(x).

ч.т.д.

Функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки х, называется непрерывной в этой точке, приращение функции стремится к нулю при стремлении к нулю соответствующего приращения аргумента
Теорема. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
ч.т.д.

Y
X
0
Y
X
0
Обратное утверждение не имеет места, т.е. из непрерывности функции в некоторой точке не следует ее дифференцируемость в этой точке:
точка
возврата
угловая
точка

Дифференцирование тригонометрических функций

Пример .
Пример .
Пример .

Дифференцирование сложной функции
-сложная функция аргумента х
Доказательство.
ч.т.д.

Пример .
Пример .
Пример .
Пример .
Пример .

Логарифмическое дифференцирование
1. Логарифмируем функцию по основанию е
2. Дифференцируем выражение по переменной х, применяя правило дифференцирования сложной функции
Пример.

Пример.

Дифференцирование параметрически заданной функции

Пример.
Пример.

Повторное Дифференцирование функций, Заданных параметрически

Повторное Дифференцирование функций, Заданных параметрически
Пример.

Дифференцирование неявно заданных функций
Пример.
Пример.

1.4 Дифференциал функции.
1. Определение дифференциала
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0 , если ее приращение Δy в этой точке может быть записано как сумма линейной относительно Δx части и бесконечно малой более высокого порядка чем Δx , т.е.
Δy=Δf(x0) = A ⋅ Δx + β(Δx) , (1)
где A – число, β(Δx) – б.м. более высокого порядка чем Δx.
Слагаемое A ⋅ Δx в выражении (1) называют дифференциалом функции y = f(x) в точке x0 и обозначают: dy(x0) , df(x0).

ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференцируемости с существованием производной).
Функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 ⇔ она имеет в точке x0 производную. При этом для ее дифференциала в точке x0 справедливо равенство
dy(x0) = f ′(x0) ⋅ Δx . (2)
Так как дифференциал независимой переменной равен её приращению dx=Δx, то дифференциал функции можно записать в виде:
dy = f ′(x0) dx . (3)
Дифференциал функции y = f(x) обозначается:
dy , df(x) .

Замечание. Из теоремы 1 следует, что нахождение производной и дифференциала функции представляет собой по существу одну и ту же задачу. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференци-
руемой на интервале (a;b) если она дифференцируема (т.е. имеет производную) в каждой точке этого интервала.
Функция y = f(x) называется дифференцируемой на отрезке [a;b] если она дифференцируема на интервале (a;b) и имеет соответствующие односторонние производные в точках a и b.