Формула полной вероятности презентация

Для независимых событий
Для зависимых событий
Последняя формула учитывает изменение вероятности второго события после того, как произошло первое.
Формула умножения вероятностей

Задачка 1
Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделают по одному выстрелу.
а). Какова вероятность того, что в мишень попадут оба стрелка?
б). Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Задачка 2
В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?

Задачка 3
Имеется три ящика, в каждом из которых лежат шары с номерами от 0 до 9. Из каждого ящика вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что
а) вынуты три девятки;
б) вынуты три одинаковых числа?

*
Формула полной вероятности
Объяснение формулы
Примеры

Формула полной вероятности
Применяется, когда опыт со случайными исходами распадается на два случая:
розыгрыш условий опыта
розыгрыш результата

Пример1
Имеются два одинаковых ящика с карандашами. В 1-ом ящике – 2 зеленых и 1 синий карандаш, во 2-ом – 1 зеленый и 3 синих. Наудачу выбирают один из ящиков и вынимают из него карандаш. Какова вероятность вынуть зеленый карандаш?

Терминология
Допустим, что об условиях опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез): H1,H2,…,Hn, где Hi Hj = Ø, i ≠ j
Hi – несовместные, образующие полную группу события.

Формула полной вероятности
Заданы условные вероятности события А, при каждой из гипотез P(A׀H1),…,P(A׀Hn). Событие А может появиться только вместе с одной из гипотез.
Найдем вероятность события А.
A= H1A +H2A + …+ HnA , HiA – несовместные
события, значит ,
P(HiA) = P(Hi)∙P(A׀Hi)
Отсюда – формула полной вероятности

Формула полной вероятности
H1
E
H2
A
Если события H1 и H2 образуют полную группу событий, вероятность случайного события А находится по формуле полной вероятности:

Формула полной вероятности
H1
E
H2
Hn
H3
…
A
Если полная группа включает n событий, тогда формула полной вероятности имеет следующий вид:

Пример1
Имеются два одинаковых ящика с карандашами. В 1-ом ящике – 2 зеленых и 1 синий карандаш, во 2-ом – 1 зеленый и 3 синих. Наудачу выбирают один из ящиков и вынимают из него карандаш. Какова вероятность вынуть зеленый карандаш?

Решение
Hi – выбор i ящика
P(H1) = P(H2)=1/2
P(A׀H1) =2/3
P(A׀H2) = ¼

Задача 1
В первой урне было 4 красных и 6 синих шара. Во второй урне 3 красных и 5 синих. Один шар переложили из первой во вторую урну, и после этого из второй вытащили один шар. Какова вероятность, что он синий?
10 шаров
8 шаров
Какова
вероятность?

Задача 1

Задача 2
В первой урне было 4 красных и 6 синих шара. Во второй урне 3 красных и 5 синих. Два шара переложили из первой во вторую урну, и после этого из второй вытащили один шар. Какова вероятность, что он синий?
10 шаров
8 шаров
Какова
вероятность?

Решаем задачу 2 про шары
Имеются три события, образующие полную группу:
H1 = { переложили два красных шара }
H2 = { переложили один красный и один синий шар }
H3 = { переложили два синих шара }
Какова
вероятность?

Решаем задачу 2 про шары
Находим вероятности этих событий:
P(H1) = 4/10 ∙ 3/9 = 2/15
P(H2) = 4/10 ∙ 6/9 + 6/10 ∙ 4/9 = 8/15
P(H3) = 6/10 ∙ 5/9 = 5/15
Какова
вероятность?

Решаем задачу 2 про шары
Находим условные вероятности:
P(A/H1) = 5/10
P(A/H2) = 6/10
P(A/H3) = 7/10
Подставляем в формулу полной вероятности:
P(A) = P(H1)∙P(A/H1) + P(H2)∙P(A/H2) + P(H3)∙P(A/H3) =
= 2/15 ∙ 5/10 + 8/15 ∙ 6/10 + 5/15 ∙ 7/10 =
= 31/50 = 0,62

Задача 3
Из пяти винтовок, среди которых 3 снайперские и 2 обычные, наудачу выбирается одна, и из нее производится выстрел. Найти вероятность попадания, если вероятность попадания из снайперской винтовки-0,99, а из обычной 0,7.

Задача 4
На первом заводе выпускают 60% батареек данной фирмы, а остальные выпускают на втором заводе. Вероятность брака на первом заводе составляет 3%, на втором 20%. Найдите вероятность того, что взятая наугад батарейка окажется бракованной.

Задача 5
Ковбой Джон ненавидит мух. Мухобойка – не предмет джентльменов. Джон просто стреляет в неё из попавшего под руку револьвера. Он попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из своего револьвера. Если Джон стреляет из какого-нибудь револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежат 10 револьверов, среди них два его. Ковбой Джон видит на стене муху, по привычке наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет. Найдите вероятность того, что муха погибла.