Слайд 2
![§1. Понятие функции нескольких переменных Если каждой упорядоченной паре чисел](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-1.jpg)
§1. Понятие функции нескольких переменных
Если каждой упорядоченной паре чисел (x;y) из
некоторого числового множества
поставлено в соответствие согласно некоторому правилу f число z из множества Z, то говорят, что на множестве
D задана функция двух переменных
Слайд 3
![При этом переменные x и y называются независимыми переменными (или](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-2.jpg)
При этом переменные x и y называются независимыми переменными (или
аргументами).
Множество
называется областью определения, а множество
– множеством значений функции.
Областью определения может быть вся плоскость OXY, или ее часть, ограниченная некоторыми линиями.
Слайд 4
![Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-3.jpg)
Линию, ограничивающую область, называют границей области.
Точки области, не лежащие на
границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой.
Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D .
Примером замкнутой области является круг с окружностью.
Слайд 5
![Значение функции в точке обозначают и называют частным значением функции.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-4.jpg)
Значение функции в точке обозначают и называют частным значением функции.
Пример.
Найти значение
функции
в точке
Решение.
Слайд 6
![Графиком функции называется поверхность, образованная множеством точек пространства с координатами для всех](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-5.jpg)
Графиком функции
называется поверхность, образованная множеством точек пространства с координатами
для всех
Слайд 7
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-6.jpg)
Слайд 8
![Пример Найти область определения функции: Решение. Построим линию Это окружность с центром в точке и радиусом](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-7.jpg)
Пример
Найти область определения функции:
Решение.
Построим линию
Это окружность с центром в точке
и
радиусом
Слайд 9
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-8.jpg)
Слайд 10
![Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-9.jpg)
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана
разными способами:
- таблицей,
- аналитически,
- графиком.
Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.
Слайд 11
![Величина u называется функцией n переменных если каждой совокупности переменных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-10.jpg)
Величина u называется функцией n переменных если каждой совокупности переменных
из некоторой области n-мерного пространства соответствует определенное значение u, что символически записывается
Слайд 12
![Линии уровня Линией уровня функции называется множество всех точек плоскости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-11.jpg)
Линии уровня
Линией уровня функции называется множество всех точек плоскости OXY
, в которых функция z принимает постоянное значение, т. е. где C – постоянная.
Число C в этом случае называется уровнем.
Слайд 13
![Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-12.jpg)
Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны.
Например, параллели и
меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм — линий уровня температуры.
Построение линий уровня оказывается существенно более легкой задачей, чем построение графиков самих функций.
Слайд 14
![§2. Предел и непрерывность функции 2-х переменных ОПР. -окрестностью точки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-13.jpg)
§2. Предел и непрерывность функции 2-х переменных
ОПР. -окрестностью точки
называется множество
всех точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству
Т.е. -окрестность точки – это круг радиуса , с центром в точке
Слайд 15
![Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме быть может](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-14.jpg)
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме быть может самой
точки.
Опр. Число A называется пределом функции при и , если для любого , найдется положительное число , такое, что для всех и , удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
Слайд 16
![Записывают Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-15.jpg)
Записывают
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной
переменной.
Слайд 17
![Опр. Функция называется непрерывной в точке , если она: 1)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-16.jpg)
Опр. Функция называется непрерывной в точке , если она:
1) определена
в этой точке и некоторой ее окрестности;
2) имеет конечный предел
3) этот предел равен значению функции z в точке
Слайд 18
![Геометрический смысл непрерывности очевиден: график в точке представляет собой сплошную,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-17.jpg)
Геометрический смысл непрерывности очевиден: график в точке представляет собой сплошную, нерасслаивающуюся
поверхность.
ОПР. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Слайд 19
![§3. Частные производные ФНП Частным приращением функции по независимой переменной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-18.jpg)
§3. Частные производные ФНП
Частным приращением функции
по независимой переменной x, соответствующим
приращению переменной x, называется разность
Слайд 20
![Частным приращением функции по независимой переменной y, соответствующим приращению переменной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-19.jpg)
Частным приращением функции
по независимой переменной y, соответствующим приращению переменной
y, называется разность
Полным приращением функции соответствующим приращениям аргументов и называется разность
Слайд 21
![Частной производной первого порядка функции нескольких переменных по одной из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-20.jpg)
Частной производной первого порядка функции нескольких переменных по одной из этих
переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.
Слайд 22
![Для функции двух переменных по определению частная производная по x равна частная производная по y равна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-21.jpg)
Для функции двух переменных
по определению частная производная по x равна
частная
производная по y равна
Слайд 23
![При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-22.jpg)
При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая
все другие аргументы постоянными.
Слайд 24
![Пример Найти частные производные первого порядка Решение. Считая y постоянной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-23.jpg)
Пример
Найти частные производные первого порядка
Решение. Считая y постоянной и дифференцируя данную
функцию как функцию переменной x, находим частную производную по x:
Слайд 25
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-24.jpg)
Слайд 26
![Считая x постоянной и дифференцируя z как функцию переменной y, находим частную производную по y:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-25.jpg)
Считая x постоянной и дифференцируя z как функцию переменной y, находим
частную производную по y:
Слайд 27
![Частные производные второго порядка Частными производными второго порядка функции называются](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-26.jpg)
Частные производные второго порядка
Частными производными второго порядка функции называются частные
производные, если они существуют, от ее частных производных первого порядка.
Слайд 28
![Обозначения частных производных второго порядка:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-27.jpg)
Обозначения частных производных второго порядка:
Слайд 29
![Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-28.jpg)
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков.
Частные производные называются смешанными производными.
Если функция дважды дифференци-руема в некоторой точке, то в этой точке смешанные производные равны.
Слайд 30
![§4. Полный дифференциал ФНП Пусть функция определена в некоторой окрестности](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-29.jpg)
§4. Полный дифференциал ФНП
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки составим
полное приращение функции в точке
Слайд 31
![Полный дифференциал функции можно найти по формуле](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-30.jpg)
Полный дифференциал функции
можно найти по формуле
Слайд 32
![Пример. Найти полный дифференциал функции Решение.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/424314/slide-31.jpg)
Пример. Найти полный дифференциал функции
Решение.