Функции нескольких переменных. (Лекция 1) презентация

Литература
Д. Письменный «Конспект лекций по высшей математике», Ч.1, Ч.2.
2. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления», Т. 1, 2.
3. М.В. Ишханян «Математический анализ», Ч.1, 2.
4. Минорский В.П. «Сборник задач по высшей математике».

1. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.
1.1. Определение, способы задания
А) Табличное задание функции

Б) Графическое задание функции (номограммы)
z
0
a
b
y=y1
y=y2
y=y3
y=ym
x

В) Аналитическое задание:
я
x
0
y
D
D -- область определения

Определение функции двух переменных

Обозначения:
При этом пишут:
Z = f(x, y) или z = z(x, y) или f: D → ℝ,
где x и y – независимые переменные, z – зависимая переменная (функция).
Определение Множество D(f) называется областью определения функции, а множество значений, принимаемых в области определения функции, называется областью изменения функции Е(f) (или множеством значений).

Опр. Областью определения функции z = f(x, y)

Пример

График функции
Опр. Графиком функции 2-х переменных
z = f(x, y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции (это может быть часть плоскости XOY либо вся плоскость, с границей или без).
z = f(x, y) – аппликата точки М(x, y, z).

Примеры графиков функций 2-х переменных

Поверхности и линии уровня

x
0
y
Пример. Найти линии уровня функции

2. Предел функции 2-х переменных

Пример

3. Непрерывность функции 2-х переменных

4. Частные приращения и производные первого порядка функции двух переменных

y=const

Определение.

x =const

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Пример

Примеры:

5. Полное приращение и полный дифференциал функции
Положим во 2-е равенство
Аналогично положим
Получим формулу для полного дифференциала:
Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой.

Пример

Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям

Пример

6. Производная сложной функции

2) случай двух независимых переменных .

Пример.

7. Производная неявной функции

Пример 1.

2) Случай двух независимых переменных

Пример

8.Частные производные высших порядков

Пример

9. Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Градиент.

Теорема

Механический и геометрический смысл производной по направлению

Градиент функции

Свойства градиента

Пример

10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Опр. 2. Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Замечание.

11. Экстремум функции двух переменных.

Достаточные условия существования экстремума функции

Пример 1.

Пример 2.
M1 и M2 -- точки минимума, zmin = -2.