Касательная, хорда, секущая, радиус презентация

Повторим теоремы по этой теме.
D
B
A
C
C₁
α
1.Угол между касательной и хордой,проходящей через точку касания,измеряется половиной заключённой в нём дуги.

E
C
A
D
B
2.Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды.

M
B
C
A
D
K
L
3.Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется суммой заключенной между ними дуг.

.
B
A
M
P
Q
4.Угол между двумя секущими ,проведенными из одной точки ,измеряется полуразностью заключенных между ними дуг.

2
)
M
K
A
B
1
5.Угол между касательной и секущей ,проведенными из одной точки ,измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг.

)
M
L
K
6. Угол между двумя касательными ,проведенными из одной точки ,равен 180⁰ минус величина заключенной внутри него дуги,меньшей полуокружности.

О
М
N
K
30⁰
₍
15
H
Найти: MN=?
Проведем прямую от точки М в точку N.
∠MKO= 30⁰ , ∠ MKO= 90⁰ =› ∠ HMK = 60⁰
∠ HKN = ∠MKH = 60⁰
∠KMH=∠MKN=60⁰=›∠HNK=180⁰-(KMH+MKN)=60⁰
Из этого сделаем вывод,что ▲ MNK- равносторонний =›
MK=MN=15.
Ответ:MN=15.

Задача 2.
О
M
N
12
15
Дано : ON=15
Найти: MN=?
Рассмотрим ▲ MON
∠ OMN= 90⁰=› ▲ MON- прямоугольный
ON- гипотенуза
MO-катет
Найдем MN:
MN= ON²-OM²= √225-√144 =√81=9
Ответ:MN=9

Задача 3
O
M
N
K
10
10
}
16
Дано: OM=ON=10
MN=16
Найти:OK=?
Рассмотрим ▲ MON
OM=ON=10(по условию)
=> ▲MON- равнобедренный
OK-медиана проведенная к основанию =>
что NK=KN=8
Рассмотрим ▲ OKM:
т.к OK-медиана проведенная к основанию,то она еще и высота=>
∠OKM=90⁰=>▲OKM- прямоугольный;
MO-биссектриса =10
KM-катет=8
Найдем OK:
OK= OM²-MK²= √100-√64=√16=4
Ответ:OK=4

о
А
В
С
Задача 4
Дано: ка­са­тель­ные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 72⁰
Т.к касательные проведены из одной точки ,то они равны => AB=CB
=> ▲ ABC –равнобедренный.
От­ку­да ∠CAB=∠CBA=180⁰-∠ACB =54⁰
2
Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он за­клю­ча­ет, зна­чит, дуга AB равна 108⁰
∠AOB- центраельный и равен дуге,на которую опирается=> ∠AOB= 108⁰
Рассмотрим ▲ OAB;OA=OB т.к радиусы=>
▲OAB- равнобедренный; =>∠ABO= 180⁰-108⁰ = 36⁰
Найти:∠ABO

Задача 5
О
С
В
А
а
Ответ:∠ ACB= 30⁰
Найдите величину (в градусах ) угла α, опирающегося на хорду AB ,равную градусу окружности.
Решение:
Про­ве­дем ра­ди­у­сы OA и OB.
Так как по усло­вию за­да­чи хорда AB равна ра­ди­у­су, то тре­уголь­ник AOB — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, все его углы равны 60°. ∠AOB — цен­траль­ный и равен 60° Угол ACB — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и ∠ AOB. Таким об­ра­зом, ∠ ACB= 60⁰:2=30⁰

Задача 6
Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5 см.
O
D
A
B
C
Най­дем от­ре­зок DO:
DO = OB − BD = 5 − 1 = 4.
Так как OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AC, тре­уголь­ник AOD — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем: AD=√AO²-√OD²=√25-√16=3 .
Тре­уголь­ник AOC — рав­но­бед­рен­ный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким об­ра­зом, AC = AD·2 = 6.

Задача 7
К окруж­но­сти с цен­тром в точке O про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если , AB=21,AO=75 .
A
B
O
Со­еди­ним от­рез­ком точки O и B; по­лу­чен­ный от­ре­зок — ра­ди­ус, про­ведённый в точку ка­са­ния, по­это­му OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AB. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та OB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB: по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен:
√75²-√21²=72