Кеңістіктегі жазықтық пен түзудің теңдеулері презентация

1. Жазықтықтың теңдеуі
Жазықтықта нүктесі және жазықтыққа перпендикуляр болатын векторы берілсін. жазықтықтың кез келген нүктесі
(1) – берілген нүктесі арқылы өтетін
векторына перпендикуляр жазықтықтың теңдеуі.
(1)

Мысал. нүктесінен өтетін және
векторына перпендикуляр болып өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.
Шешімі: (1) теңдеуді пайдалансақ

теңдеуін түрлендіріп
(2) – жазықтықтың жалпы теңдеуі, мұндағы
(2)

Жалпы теңдеуінің кейбір дербес жағдайлары:
жазықтығы координата жүйесінің бас нүктесінен өтеді.
жазықтығы осіне параллель болады.
немесе жазықтығы
координаталық жазықтығына параллель болады.
теңдеуі OYZ координаталық жазықтығының теңдеуі болады.

Егер болса,
түріне келтіруге болады. Мұнда
деп белгілесе,
(3) –жазықтықтың кесінділер арқылы берілген теңдеуі.
(3)
Жазықтықтың кесінділер арқылы берілген теңдеуі

Кеңістікте нүктелері берілсін. Осы нүктелер арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін табу үшін жазықтықта жатқан кез келген нүктесін алайық. Онда векторлары компланар векторлар.
(4)
(4) - үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі
Үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі

Кеңістікте нүктесінен
жазықтығына дейінгі арақашықтығын келесі формуламен табылады:
(5)
Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық

Кеңістікте және
теңдеулерімен берілген жазықтықтарының арасындағы бұрыш келесі формуладан анықталады:
(6)
Екі жазықтықтың параллельдік шарты
Екі жазықтықтың перпендикулярлық шарты
Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш

Айталық , түзуде нүкте және осы түзуге параллель векторы берілсін. - түзудің бағыттаушы векторы деп аталады. Түзуден кез келген
нүктесін алайық. Онда
(7)
(7) - кеңістіктегі түзудің канондық теңдеуі.
Кеңістіктегі түзудің канондық теңдеуі

Кеңістіктегі түзудің канондық теңдеуі берілсін
(8)
(8) - кеңістіктегі түзудің параметрлік теңдеуі
Кеңістіктегі түзудің параметрлік теңдеуі

Кеңістіктегі нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазайық.
векторын осы түзудің бағыттаушы
векторы деп алсақ, онда нүктесі арқылы өтетін теңдеуді
(7) теңдеу арқылы
(9)
аламыз. Бұл теңдеу екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі деп аталады.
Кеңістіктегі екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі

Кеңістіктегі
және
теңдеулерімен анықталатын екі түзудің арасындағы бұрыш келесі формуладан табылады:
(10)
Кеңістіктегі екі түзудің арасындағы бұрыш

(11)
Кеңістіктегі түзулердің перпендикулярлық шарты
(12)
Кеңістіктегі түзулердің параллельдік шарты