Слайд 2
![Основные понятия Комплексным числом называется выражение вида где и – действительные числа, а – мнимая единица.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-1.jpg)
Основные понятия
Комплексным числом называется выражение вида
где и – действительные числа,
а
– мнимая единица.
Слайд 3
![Два комплексных числа называются равными тогда и только тогда, когда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-2.jpg)
Два комплексных числа
называются равными тогда и только тогда, когда
Комплексное
число
равно 0 тогда и только тогда, когда
Слайд 4
![Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются. Два комплексных числа называются сопряженными. Справедливо равенство](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-3.jpg)
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются.
Два комплексных числа
называются сопряженными.
Справедливо равенство
Слайд 5
![Извлечение корней из комплексных чисел Корнем n-ой степени из комплексного](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-4.jpg)
Извлечение корней из комплексных чисел
Корнем n-ой степени из комплексного числа называется
комплексное число ,
удовлетворяющее равенству
Т.е. , если
Слайд 6
![Пример Вычислить Решить уравнение Решить уравнение Решение. 1.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-5.jpg)
Пример
Вычислить
Решить уравнение
Решить уравнение
Решение. 1.
Слайд 7
![2. 3.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-6.jpg)
Слайд 8
![Тема: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ §1. Дифференциальные уравнения первого порядка](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-7.jpg)
Тема: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Слайд 9
![Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнение связывающее независимую переменную x, искомую](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-8.jpg)
Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение
связывающее независимую переменную x, искомую функцию
y и ее производную y’, называется
дифференциальным уравнением первого порядка
(ДУ первого порядка).
Слайд 10
![Если дифференциальное уравнение можно записать в виде то говорят, что](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-9.jpg)
Если дифференциальное уравнение можно записать в виде
то говорят, что оно разрешимо
относительно производной.
Это уравнение можно записать в виде
так как
или, в более общем виде
Слайд 11
![Решение дифференциального уравнения Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-10.jpg)
Решение дифференциального уравнения
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется
любая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
График функции в этом случае называется интегральной кривой.
Процесс нахождения решений данного дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.
Слайд 12
![Задача Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-11.jpg)
Задача Коши
Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию ,
называется задачей Коши.
Задача Коши:
Слайд 13
![Общее решение ДУ Общим решением дифференциального уравнения называется такая функция](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-12.jpg)
Общее решение ДУ
Общим решением дифференциального уравнения
называется такая функция
где –
C произвольная постоянная, что при любом конкретном C она является решением дифференциального уравнения;
для любого допустимого начального условия
найдется такое , что
Слайд 14
![Если общее решение записать в виде то это соотношение называется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-13.jpg)
Если общее решение записать в виде
то это соотношение называется
общим интегралом дифференциального уравнения.
Частным решением
дифференциального уравнения первого порядка называется функция
которая получается из общего решения при конкретном значении C.
Слайд 15
![Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Уравнение вида Где – заданные](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-14.jpg)
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида
Где
– заданные функции,
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Слайд 16
![Если то, разделив уравнение (1) на получим уравнение которое называется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-15.jpg)
Если
то, разделив уравнение (1) на
получим уравнение
которое
называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными (коэффициент при есть функция переменной x, при – функция переменной y).
Слайд 17
![Общий интеграл полученного уравнения находится почленным интегрированием: Уравнение Где –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-16.jpg)
Общий интеграл полученного уравнения находится почленным интегрированием:
Уравнение
Где – заданные функции,
сводится к уравнению (2).
Нужно положить и разделить переменные
Слайд 18
![Схема решения ДУ с разделяющимися переменными](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-17.jpg)
Схема решения ДУ с разделяющимися переменными
Слайд 19
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-18.jpg)
Слайд 20
![Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение вида Где ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-19.jpg)
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение вида
Где , ,
– непрерывные
функции, называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.
Слайд 21
![§2. Дифференциальные уравнения второго порядка Уравнение вида или называется дифференциальным](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-20.jpg)
§2. Дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнение вида
или
называется дифференциальным уравнением второго
порядка.
Начальные условия для данного уравнения имеют вид
– некоторые числа.
Слайд 22
![Решением уравнения называется всякая функция , которая при подстановке вместе](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-21.jpg)
Решением уравнения
называется всякая функция , которая при подстановке вместе
с y’ и y’’ в это уравнение обращает его в тождество.
Пример. Показать, что функция
является решением уравнения
Решение.
Слайд 23
![Общим решением уравнения называется функция , зависящая от двух произвольных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-22.jpg)
Общим решением уравнения
называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных
и и такая, что:
1) она является решением уравнения при любых конкретных значениях и ;
2) для любых допустимых начальных условий можно подобрать такие и , что функция будет удовлетворять этим условиям.
Слайд 24
![Понижение порядка дифференциальных уравнений В некоторых частных случаях удается понизить](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-23.jpg)
Понижение порядка дифференциальных уравнений
В некоторых частных случаях удается понизить порядок
дифференциального уравнения второго порядка. В итоге дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению первого порядка одного из ранее изученных типов.
Слайд 25
![Типы уравнений, допускающих понижение порядка Уравнение Способ понижения порядка](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-24.jpg)
Типы уравнений, допускающих понижение порядка
Уравнение
Способ понижения порядка
Слайд 26
![Пример Найти общее решение уравнения Решение. Интегрируя, получим – уравнение с разделяющимися переменными.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-25.jpg)
Пример
Найти общее решение уравнения
Решение. Интегрируя, получим
– уравнение с
разделяющимися переменными.
Слайд 27
![Так как разделяем переменные и интегрируем:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-26.jpg)
Так как
разделяем переменные и интегрируем:
Слайд 28
![ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Уравнение вида (p](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-27.jpg)
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Уравнение вида
(p и q
– постоянные) называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Слайд 29
![Уравнение называется характеристическим для дифференциального уравнения Для составления характеристического уравнения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-28.jpg)
Уравнение
называется характеристическим для дифференциального уравнения
Для составления характеристического уравнения в
уравнении (4) заменяют
Вид общего решения этого уравнения определяется корнями характеристического уравнения и .
Слайд 30
![Пример Составить характеристические уравнения для следующих дифференциальных уравнений: 1. 2. 3. 4.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-29.jpg)
Пример
Составить характеристические уравнения для следующих дифференциальных уравнений:
1.
2.
3.
4.
Слайд 31
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-30.jpg)
Слайд 32
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-31.jpg)
Слайд 33
![Пример 1. Найти общее решение уравнения Решение. Составим характеристическое уравнение, заменяя в данном уравнении Получим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/118697/slide-32.jpg)
Пример
1. Найти общее решение уравнения
Решение. Составим характеристическое уравнение, заменяя в данном
уравнении
Получим