Признаки равенства прямоугольных треугольников презентация

Прежде, чем вы приступите к рассмотрению нового теоретического и практического материала, просьба повторить признаки равенства ЛЮБЫХ треугольников
Внимание
А
С
В
А1
С1
В1

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Первый признак равенства треугольников
А
С
В
А1
С1
В1

Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
А
С
В
А1
С1
В1

Внимание
Так как в прямоугольных треугольниках уже есть один равный элемент- прямой угол, то формулировка признаков равенства треугольников меняется.
В тетрадь записываем ТОЛЬКО формулировки теорем с рисунком ( без доказательств).

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по двум катетам)
Доказательство.
А
С
В
А1
С1
В1
АС = А1С1,
ВС = В1С1,
∠ С = ∠ С1 = 90°.
Получаем, что ∆ АВС = ∆ А1В1С1
(по первому признаку).
Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу)
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
АС = А1С1,
∠ А = ∠ А1,
∠ С = ∠ С1 = 90°.
Получаем, что ∆ АВС = ∆ А1В1С1
(по второму признаку).
Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу)
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
∠ С = ∠ С1 = 90°,
АВ = А1В1,
∠ А = ∠ А1.
∠ А + ∠ В = 90°,
∠ А1 + ∠ В1 = 90°,
∠ В = 90° – ∠ А,
∠ В1 = 90° – ∠ А1,
∠ В = ∠ В1.
Следовательно, ∆ АВС = ∆ А1В1С1
(по второму признаку).
Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
А
С
В
А1
С1
В1
∠ С = ∠ С1 = 90°,
АВ = А1В1,
АС = А1С1.
∆ В1АВ – равнобедренный,
АС – высота,
медиана.
То есть В1С = СВ.
Следовательно, ∆ АВС = ∆ А1В1С1
(по двум катетам).
Теорема доказана.
( )
( )

Задача 1. ( пишем в тетрадь) На рисунке отрезки СА и DB перпендикулярны прямой АВ, отрезок ОА равен отрезку ОВ. Докажите, что отрезок СА равен отрезку DB.
Доказательство.
А
С
В
D
O
∆ АСО, ∆ BDO – прямоугольные.
∠ АОС = ∠ ВОD (как вертикальные).
АО = ОВ,
Тогда ∆ АСО = ∆ BDO
(по катету и острому углу).

Задача 1. ( пишем в тетрадь) На рисунке отрезки СА и DB перпендикулярны прямой АВ, отрезок ОА равен отрезку ОВ. Докажите, что отрезок СА равен отрезку DB.
Доказательство.
А
С
В
D
O
∆ АСО, ∆ BDO – прямоугольные.
2)∠ АОС = ∠ ВОD (как вертикальные).
1)АО = ОВ( по условию),
Тогда ∆ АСО = ∆ BDO
(по катету и острому углу).

Задача 2. ( решить самостоятельно по образцу предыдущей задачи)
А
В
С
Д
Доказать: Δ АВД=Δ АСД

Домашняя работа
Выучить признаки равенства прямоугольных треугольников.
Решить задачу по готовому рисунку (смотрите следующий слайд).