Кривые второго порядка. Лекция 7 презентация

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+Q=0

ОКРУЖНОСТЬ
x2+y2=R2 центр (0; 0) и радиус R
(x-x0)2+(y-y0)2=R2 центр (x0; y0) и радиус R
x2+y2-2x0x-2y0y+x02+y02-R2=0
A=1, B=0, C=1, D=-2x0, E=-2y0, Q= x02+y02-R2, A=C≠0
эксцентриситет ε=0
-действительная окружность
-точка
-мнимая окружность

ЭЛЛИПС
F1F2=2c
F1(-c; 0) и F2(c; 0) - фокусы
F1M+MF2=2a (2a>2c)
a2-c2=b2
центр (0; 0)
эксцентриситет (0<ɛ<1)
центр (x0; y0)

A1(-a; 0), A2(a; 0),
B1(0; -b), B2(0; -b)
– вершины эллипса
Ось OX (на которой) - фокальная ось
A1A2=2a – большая ось эллипса
B1B2=2b – малая ось эллипса.
F1F2=2c – фокусное расстояние.
OA1=OA2=a - большой полуось эллипса,
OB1=OB2=b - малая полуось эллипса

ГИПЕРБОЛА
F1F2=2c – фокусное расстояние
F1(-c; 0) и F2(c; 0) - фокусы
|F1M - MF2|=2a (2a<2c)
a2-c2=b2
c2-a2=b2
каноническое уравнение гиперболы
центр (0; 0)
асимптоты
эксцентриситет (ɛ>1)
центр (x0; y0)

A1(-a; 0), A2(a; 0) - действительные вершины гиперболы
B1(0; -b), B2(0; b) - мнимые вершины.
Ось OX - фокальная (действительная) ось.
Ось OY - мнимая ось
A1A2=2a - действительная ось гиперболы.
B1B2=2b - мнимая ось.
OA1=OA2=a действительные полуоси гиперболы,
OB1=OB2=b мнимые полуоси гиперболы.

ПАРАБОЛА
фокус
директрисой
FP=p>0 – параметр параболы
y2=2px
O(0; 0) вершина параболы
Ось OX - фокальная ось
(y-y0)2=2p(x-x0) - (x0; y0) вершина параболы

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА, НЕ СОДЕРЖАЩЕГО ЧЛЕНА
С ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ТЕКУЩИХ КООРДИНАТ
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+Q=0
B =0=>Ax2+Cy2+Dx+Ey+Q=0=>окружность, эллипс, гипербола, парабола, пара прямых, точка или мнимая кривая
1) A>0, C>0=>либо эллипс, либо окружность, либо точка, либо мнимый эллипс.
2) A>0, C<0 => либо гипербола, либо пара пересекающихся прямых.
3) A>0, C=0=>либо парабола с осью симметрии параллельной оси OY, либо пара параллельных прямых, либо мнимое место точек
4) A=0, C>0 => либо парабола с осью симметрии, параллельной оси OX, либо пара параллельных прямых, либо мнимое место точек.
Алгебраическое уравнение Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+Q=0 при любых старших коэффициентах A, B и C всегда определяет либо окружность, либо эллипс, гиперболу, параболу, либо вырожденную кривую (точку, пря­мые, мнимые кривые).