Слайд 2
![Высказывание Высказывание – это утверждение или повествовательное предложение, которое может](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-1.jpg)
Высказывание
Высказывание – это утверждение или повествовательное предложение, которое может быть либо
истинным, либо ложным.
Значением истинного высказывания является «И» – истина, ложного «Л» – «ложь».
Слайд 3
![Высказывание Повелительные («Войдите, пожалуйста»), вопросительные («Который час?») и бессмысленные предложения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-2.jpg)
Высказывание
Повелительные («Войдите, пожалуйста»), вопросительные («Который час?») и бессмысленные предложения («Сумма пяти
и восемнадцати»), в которых ничего не утверждается, не являются высказываниями.
Слайд 4
![Высказывание Не будет высказыванием утверждение, истинность или ложность которого нельзя](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-3.jpg)
Высказывание
Не будет высказыванием утверждение, истинность или ложность которого нельзя определить однозначно.
Например:
«Музыка Вагнера очень мелодична», «Картины Пикассо слишком абстрактны».
Слайд 5
![Высказывание Предметом логики высказываний является анализ различных логических связей и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-4.jpg)
Высказывание
Предметом логики высказываний является анализ различных логических связей и методы построения
на их основе правильных логических рассуждений.
Способы построения новых высказываний из заданных с помощью логических связок и определение истинности высказываний, изучаются в логике высказываний.
Слайд 6
![Высказывание Основные логические связки − это связки: и, или, не,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-5.jpg)
Высказывание
Основные логические связки − это связки: и, или, не, если …
то…, которые в логике высказываний имеют специальные названия и обозначения. Иногда к ним добавляют еще две связки либо …, либо …(или …, или …); если, и только если (тогда и только тогда).
Для одной и той же связки в разных источниках используются разные названия и обозначения, которые приведены в таблице 1.
Слайд 7
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-6.jpg)
Слайд 8
![Высказывание В последней колонке табл. 1 записаны формулы, или выражения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-7.jpg)
Высказывание
В последней колонке табл. 1 записаны формулы, или выражения логики высказываний.
С помощью букв А, В, С, ... обозначающих высказывания, связок и скобок можно построить разнообразные формулы.
Слайд 9
![Высказывание A – светит солнце, В – идет дождь, АВ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-8.jpg)
Высказывание
A – светит солнце, В – идет дождь,
АВ – светит солнце
и идет дождь.
С – контакт замкнут, D – лампа горит,
С→D – если контакт замкнут, то лампа горит.
Истинными или ложными будут составные высказывания, зависит от истинности простых высказываний, входящих в формулу.
Слайд 10
![Высказывание A – Марс – спутник Земли, В – Лондон](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-9.jpg)
Высказывание
A – Марс – спутник Земли, В – Лондон – столица
Англии,
АВ – Марс – спутник Земли и Лондон – столица Англии, ложное высказывание;
А∨В – Марс – спутник Земли или Лондон – столица Англии, истинное;
А→В – если Марс – спутник Земли , то Лондон – столица Англии, истинное.
Слайд 11
![Алгебра высказываний Исследование свойств таких формул и способов установления их](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-10.jpg)
Алгебра высказываний
Исследование свойств таких формул и способов установления их истинности и
является основным предметом логики высказываний.
Существуют два подхода к построению логики высказываний, которые образуют два варианта этой логики: алгебру логики и исчисление высказываний.
Слайд 12
![Алгебра высказываний Алгебра высказываний рассматривает логические формулы как алгебраические выражения,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-11.jpg)
Алгебра высказываний
Алгебра высказываний рассматривает логические формулы как алгебраические выражения, связывающие высказывания,
которые можно преобразовать по определенным правилам. Знаки операций обозначают логические операции (логические связки).
Слайд 13
![Алгебра высказываний В формулах алгебры логики переменные – это высказывания.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-12.jpg)
Алгебра высказываний
В формулах алгебры логики переменные – это высказывания. Они принимают
только два значения – ложь и истина, которые обозначаются либо 0 и 1, либо Л и И, либо false и true.
Каждая формула задает логическую функцию: функцию от логических переменных, которая сама может принимать только два логических значения.
Слайд 14
![Алгебра высказываний Таблица логических функций 1 переменной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-13.jpg)
Алгебра высказываний
Таблица логических функций 1 переменной
Слайд 15
![Таблица функций 2 переменных и основные логические связки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-14.jpg)
Таблица функций 2 переменных и основные логические связки
Слайд 16
![Алгебра высказываний Интерпретацией формулы логики высказываний называется набор значений высказываний, входящих в нее.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-15.jpg)
Алгебра высказываний
Интерпретацией формулы логики высказываний называется набор значений высказываний, входящих в
нее.
Слайд 17
![Алгебра высказываний Формула F называется тождественно истинной или тавтологией, если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-16.jpg)
Алгебра высказываний
Формула F называется тождественно истинной или тавтологией, если она принимает
значение «истина» независимо от значений входящих в нее высказывательных переменных, (на всех интерпертациях).
Слайд 18
![Алгебра высказываний Формула F называется тождественно ложной или противоречивой, если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-17.jpg)
Алгебра высказываний
Формула F называется тождественно ложной или противоречивой, если она принимает
значение «ложь» независимо от значений входящих в нее высказывательных переменных, (на всех интерпертациях).
Слайд 19
![Алгебра высказываний Формула F называется выполнимой, если при некоторых интерпретациях](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-18.jpg)
Алгебра высказываний
Формула F называется выполнимой, если при некоторых интерпретациях она принимает
значение «истина».
Такая интерпретация называется моделью формулы F.
Слайд 20
![Исчисление высказываний Пусть интерпретация α определена на всех высказывательных переменных,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-19.jpg)
Исчисление высказываний
Пусть интерпретация α определена на всех высказывательных переменных, встречающихся в
формулах множества Γ.
Говорят, что α выполняет Γ или α модель Γ , если каждая формула Γ из принимает значение «истина», при интерпретации α.
Слайд 21
![Исчисление высказываний Говорят, что Γ выполнимо, если имеет модель. Если не выполнимо, то пишут: Γ ⎟=.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-20.jpg)
Исчисление высказываний
Говорят, что Γ выполнимо, если имеет модель.
Если не выполнимо, то
пишут:
Γ ⎟=.
Слайд 22
![Исчисление высказываний Пусть – Γ множество формул логики высказываний, F](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-21.jpg)
Исчисление высказываний
Пусть – Γ множество формул логики высказываний, F – произвольная
формула. Говорят, что множество Γ логически влечет формулу F, если любая модель Γ являются моделью для F.
Обозначается:
Γ ⎟= F.
Слайд 23
![Исчисление высказываний Утверждение того, что некоторое высказывание (заключение) следует из других высказываний (посылок), называется аргументом.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-22.jpg)
Исчисление высказываний
Утверждение того, что некоторое высказывание (заключение) следует из других высказываний
(посылок), называется аргументом.
Слайд 24
![Аргумент ... гипотезы заключение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-23.jpg)
Аргумент
... гипотезы
заключение
Слайд 25
![Исчисление высказываний Аргумент называется правильным, если из множества гипотез логически следует заключение аргумента.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-24.jpg)
Исчисление высказываний
Аргумент называется правильным, если из множества гипотез логически следует заключение
аргумента.
Слайд 26
![Пример 1.1 Проверить истинность, выполнимость или ложность формулы. F=(A∨B)⊕A. Построим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-25.jpg)
Пример 1.1
Проверить истинность, выполнимость или ложность формулы.
F=(A∨B)⊕A.
Построим таблицу истинности и убедимся,
в наличии моделей формулы F.
Слайд 27
![Пример 1.1 Напомним, интерпретация α модель F, если значение функции на интерпретации α равен Истине.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-26.jpg)
Пример 1.1
Напомним, интерпретация α модель F, если значение функции на интерпретации
α равен Истине.
Слайд 28
![Пример 1.1 Моделью F является интерпретация (набор значений аргументов) α = (0, 1).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-27.jpg)
Пример 1.1
Моделью F является интерпретация (набор значений аргументов) α = (0,
1).
Слайд 29
![Пример 1.1 Так как у F есть модель, значит она](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-28.jpg)
Пример 1.1
Так как у F есть модель, значит она не является
тождественно ложной (противоречивой).
Так как не все интерпретации F являются ее моделями, значит она не является тождественно истинной (тавтологией).
F является выполнимой.
Слайд 30
![Пример 1.2 Проверить истинность, выполнимость или ложность формулы. F=(A∧B)∨(A│B). Построим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-29.jpg)
Пример 1.2
Проверить истинность, выполнимость или ложность формулы.
F=(A∧B)∨(A│B).
Построим таблицу истинности и убедимся,
в наличии моделей формулы F.
Слайд 31
![Пример 1.2 Все интерпретации F является ее моделями.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-30.jpg)
Пример 1.2
Все интерпретации F является ее моделями.
Слайд 32
![Пример 1.2 Так как все интерпретации F являются ее моделями, значит она является тождественно истинной (тавтологией).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-31.jpg)
Пример 1.2
Так как все интерпретации F являются ее моделями, значит она
является тождественно истинной (тавтологией).
Слайд 33
![Пример 2.1 Проверить, выполнимо ли множество Г. Г = {A→B,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-32.jpg)
Пример 2.1
Проверить, выполнимо ли множество Г.
Г = {A→B, A↓B}
Надо
проверить, найдется ли такая интерпретация α, которая является моделью разу для всех формул множества Г.
Построим таблицу для всех функций из Г.
Слайд 34
![Пример 2.1 α = (0,0) является моделью всех формул Г. Значит Г - выполнимо](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-33.jpg)
Пример 2.1
α = (0,0) является моделью всех формул Г. Значит Г
- выполнимо
Слайд 35
![Пример 2.2 Проверить, выполнимо ли множество Г. Г = {A|B,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-34.jpg)
Пример 2.2
Проверить, выполнимо ли множество Г.
Г = {A|B, A~B, А∨В}
Надо проверить, найдется ли такая интерпретация α, которая является моделью разу для всех формул множества Г.
Построим таблицу для всех функций из Г.
Слайд 36
![Пример 2.2 Г не имеет моделей. Значит Г не выполнимо: Г|=](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-35.jpg)
Пример 2.2
Г не имеет моделей. Значит Г не выполнимо: Г|=
Слайд 37
![Пример 3.1 Проверить, будет ли из множества формул Г логически](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-36.jpg)
Пример 3.1
Проверить, будет ли из множества формул Г логически следовать функция
F.
Г = {¬A~B, ¬А∨В}, F=A|B
Надо проверить, будет ли всяка модель множества Г моделью формулы F.
Построим таблицу для функций Г и F .
Слайд 38
![Пример 3.1 Модель Г (α=01) является моделью F. Значит из Г логически следует F. Г|=F.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-37.jpg)
Пример 3.1
Модель Г (α=01) является моделью F. Значит из Г логически
следует F. Г|=F.
Слайд 39
![Пример 4.1 Проверить правильность аргумента. Если Джон коммунист, то Джон](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-38.jpg)
Пример 4.1
Проверить правильность аргумента.
Если Джон коммунист, то Джон атеист. Джон атеист.
Значит Джон коммунист.
А- Джон коммунист;
В- Джон атеист.
Составим аргумент.
Слайд 40
![Пример 4.1 А→В В_ ∴А Здесь Г={А→В, В} – множество посылок, F=A – заключение.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-39.jpg)
Пример 4.1
А→В
В_
∴А
Здесь Г={А→В, В} – множество посылок,
F=A –
заключение.
Слайд 41
![Пример 4.1 Чтобы проверить проверить правильность аргумента, необходимо убедится в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-40.jpg)
Пример 4.1
Чтобы проверить проверить правильность аргумента, необходимо убедится в том, что
из множества посылок логически следует заключение: Г|=F.
В нашем случае:
{А→В, В} |= А
Слайд 42
![Пример 4.1 α=11 является моделью Г и F. α=01 является](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/127943/slide-41.jpg)
Пример 4.1
α=11 является моделью Г и F.
α=01 является моделью Г
и не является моделью F.