Слайд 3 1. Высшая математика. Практикум ч.2.
Шуман Г.И., Волгина О.А., Голодная Н.Ю.,
Одияко Н.Н.
2.
Высшая математика. Практикум ч.3.
Шуман Г.И., Волгина О.А.
3. Высшая математика. Практикум ч.4.
Шуман Г.И., Волгина О.А.
Слайд 4Дифференциальное исчисление функции одной переменной (производная).
Задача, приводящая к понятию производной.
2. Определение производной.
3. Геометрический смысл производной.
4. Основные правила дифференцирования.
5. Производные основных элементарных
функций.
Слайд 6Функцией называется правило, по
которому каждому элементу некоторого
множества М соответствует единственный
элемент
другого множества N.
- независимая переменная (аргумент);
- зависимая переменная;
М - область определения функции;
N - множество значений функции.
Слайд 7Графиком функции наз.
множество точек плоскости , для
каждой из которых абсцисса
является
значением аргумента, а
ордината - соответствующее значение
данной функции.
Слайд 8Способы задания функции:
аналитический;
2) табличный;
3) графический.
Слайд 9Основные элементарные функции
Слайд 10Постоянная .
Степенная
Показательная
Слайд 11Логарифмическая
Тригонометрические
Обратные тригонометрические
Слайд 12Окрестностью точки числовой
прямой называется любой интервал
содержащий эту точку ( ).
Если то
a
b
Слайд 13 точки
числовой прямой называется
интервал ,т.е. если ,
то или
Слайд 15 -произвольное множество.
Ограниченное сверху:
Ограниченное снизу:
Ограниченное:
Слайд 32Свойства бесконечно малых функций
Слайд 35Теорема. Если бесконечно малая
при и , то
бесконечно большая при
Теорема. Если бесконечно
большая функция при , то
бесконечно малая при
Слайд 43Доказательство проведем для частного случая , т.е. докажем, что
.
Неопределенность , свойство
о пределе частного не применимо.
Слайд 56Пусть и бесконечно малые
функции при :
1) и называются б.м. одного
порядка
малости при , если
существует конечный
Слайд 572) бесконечно малые и одного
порядка малости при называются
эквивалентными бесконечно малыми,
если
Слайд 593) бесконечно малая называется
бесконечно малой более высокого
порядка чем бесконечно малая при
, если
Слайд 604) если не существует конечного
то и называются
несравнимыми бесконечно малыми при
Слайд 61Теорема. Пусть и
бесконечно малые функции при (а
конечно и бесконечно) и существует
, тогда существует
Слайд 67Функция наз. непрерывной в
точке , если:
функция определена в точке и
некоторой её
окрестности;
2) существует
3)
Слайд 69Точка, в которой нарушается
непрерывность функции, называется
точкой разрыва этой функции.
Точка разрыва функции
называется точкой разрыва первого рода,
если существуют конечные пределы
Слайд 70Если хотя бы один из односторонних
пределов не существует или равен
бесконечности, то
точка называется
точкой разрыва второго рода.
Точка разрыва называется точкой
устранимого разрыва функции , если
Слайд 71Пусть - точка разрыва первого рода
функции . Скачком функции в
точке называется
Слайд 72Свойства функций непрерывных в точке
Слайд 74Функция называется
непрерывной на отрезке , если она
определена на этом отрезке, непрерывна
в каждой точке интервала , а на
концах отрезка непрерывна соответственно
слева и справа, т.е.
Слайд 75Свойства функций непрерывных на отрезке
Слайд 761.Если функция непрерывна
на отрезке , то она достигает на
этом отрезке своего
наибольшего и
наименьшего значений.
Следствие. Если функция
непрерывна на отрезке , то она
ограничена на этом отрезке.
Слайд 772.Если функция непрерывна
на отрезке и на его концах
принимает значения разных знаков,
то
внутри отрезка существует по
крайне мере одна точка, в которой
значение функции равно нулю.
Слайд 78
3. Пусть функция непрерывна
на и
Тогда для любого числа ,заключенного
между и
, найдется точка ,
такая, что
Слайд 79Пусть дана функция .
Рассмотрим два значения её аргумента:
Исходное и новое .
Разность
наз.приращением
аргумента в точке и обозначим :
Слайд 80Разность наз.
приращением функции в точке :