Матрица. Сложение и умножение матриц презентация

Матрица.
Прямоугольная таблица чисел называется
матрицей. Если в указанной таблице m
строк и n столбцов, то ее в общем виде
можно записать так:

или
Числа
называются элементами матрицы А.

Главная диагональ
Для квадратной матрицы
совокупность чисел
называется ее главной диагональю.

Равные матрицы.
Две матрицы считаются равными,
если они имеют одинаковые размеры и их соответственные элементы равны между
собой:

Сложение матриц.
Если две матрицы имеют одинаковые
размеры, то их можно сложить,
складывая соответственные элементы.
Так, если
и

то

или

Умножение матрицы на число
Всякую матрицу можно умножить на любое
число согласно следующему определению:

Пример 1. Даны матрицы А и В
Найти матрицу

Решение

Свойства.
Легко видеть, что операции сложения и
умножения матрицы на число
удовлетворяют следующим свойствам:
1.свойство коммуникативности

2. Свойство ассоциативности
3.

4.
5.

Нулевая матрица
Матрица, все элементы которой равны нулю,
называется нулевой. Ее будем обозначать
буквой О.

Умножение матриц
Пусть у нас имеются две матрицы

Здесь число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй. Тогда произведение
матрицы А на матрицу В определяется
следующим образом:

где

Оператор суммирования
Если воспользоваться оператором
суммирования
,
то

Произведение матриц
Произведение матриц А и В записывается так:

Пример 1
Умножить матрицу
на матрицу

Решение

Транспонирование матриц
Пусть у нас имеется матрица
.
Если каждую строку этой матрицы
заменить ее столбцом с тем же номером,
то получим новую матрицу размера
которая называется
транспонированной к данной и
обозначается
,
:

Определители второго и третьего
порядков
По определенному правилу каждой
квадратной матрице А ставится
определенное число, которое называется
ее определителем и обозначается
Рассмотрим определители порядков
1, 2, 3.

Если порядок матрицы А равен единице,
то
Для квадратной матрицы второго порядка

Опираясь на это определение определителя
второго порядка дадим определение
определителя третьего порядка.
Если
, то

Для запоминания правила вычисления
определителя третьего порядка
используется правило треугольников или
правило Саррюса.
Оно состоит в изображении (явном или
мысленном) элементов матрицы точками.
Точки, соответствующие произведениям,
которые входят в определитель,
соединяются отрезками.

В результате получаются два отрезка
(соответствующие главной и побочной
диагоналям), а также четыре треугольника,
два из которых имеют стороны,
параллельные главной диагонали, и два-
параллельные побочной диагонали.

Главной диагонали и тем двум
треугольникам, основания которых
параллельны главной диагонали,
соответствуют произведения со знаком
«+», а побочной диагонали соответствуют
произведения со знаком «-».
Пример 1. Вычислить определитель

Решение:

Обратная матрица
Пусть у нас имеется квадратная матрица
Матрица
называется
обратной к матрице А, если

где
называется символом Кронекера.

Квадратная матрица называется
невырожденной, если ее определитель
не равен нулю. В противном случае
матрица называется вырожденной.
Пример:
Найти матрицу, обратную к
матрице

Решение.
Сначала проверим, является ли
определитель матрицы А отличным от
нуля:

Отсюда вытекает, что матрица А
невырожденная и у нее есть обратная:

В нашем случае:

Отсюда

Ранг матрицы
Пусть у нас имеется матрица
содержащая m строк и n столбцов:

Выделим в этой матрице k строк k столбцов
элементов, стоящих на
пересечении выделенных строк и столбцов,
составим определитель k-го порядка. Все
такие определители называются минорами
нашей матрицы. Элементы матрицы- это
миноры первого порядка.
Определение: Рангом матрицы
называется наивысший порядок отличных
от нуля миноров этой матрицы.

Пример. Найти ранг матрицы
У этой матрицы 12 миноров первого
порядка, 18 миноров второго порядка:

и наконец 4 минора третьего порядка:

Нетрудно проверить, что все миноры
третьего порядка матрицы А равны нулю,
а миноры второго порядка во всяком
случае не все равны нулю. Поэтому ранг
матрицы А равен 2

При вычислении ранга матрицы
существенную роль играют элементарные
преобразования матрицы:
1)
умножение элементов любой
строки (столбца) матрицы на число
2)
прибавление к строке (столбцу) другой
строки (столбца), умноженной на
некоторое число;
3)
перестановка двух строк (столбцов)
матрицы.

При элементарных преобразованиях
ранг матрицы не изменяется. С помощью
элементарных преобразований любую
матрицу можно привести к виду

где на «главной диагонали» стоит r
единиц, а все остальные элементы матрицы
равны нулю. Ранг такой матрицы, а значит,
и исходной матрицы, равен r.
Если ранг матрицы А равен рангу
матрицы В, то матрицы А и В называются
эквивалентными. В этом случае пишут

Системы линейных уравнений
Основные понятия и определения
Системой линейных алгебраических
уравнений с n переменными х1, х2, …, хn
называется система вида

Здесь числа
называются коэффициентами системы,
а числа b1, b2, …,bm-ее свободными
членами.
Если b1= b2=…=bm=0, то система
называется однородной;
Если хотя бы одно из bi
отлично
от нуля, то система называется
неоднородной

Решением системы называется всякая
упорядоченная совокупность n чисел
(с1, с2, …, сn), которая при подстановке
в каждое уравнение системы вместо
соответствующих переменных превращает
каждое уравнение в тождество.
Система называется совместной,
если у нее есть хотя бы одно решение, и
несовместной в противном случае.

Совместные системы делятся на
определенные и неопределенные.
Система, которая имеет только одно
решение, называется определенной.
Если система имеет больше одного
решения, то она называется
неопределенной.

Систему удобно записать в матричной
форме, для чего введем необходимые
понятия. Матрица
элементы которой являются
коэффициентами системы, назовем
матрицей системы.

Введем еще две матрицы, каждая из
которых состоит из одного столбца
(матрицы-столбца):
Это матрица-столбец переменных и
матрица-столбец свободных членов.

У матрицы А n столбцов, а у матрицы X n
строк, поэтому А можно умножить на X.

Как показывают равенства, каждый
элемент матрицы столбца АХ есть
соответствующий элемент матрицы В.
Отсюда в соответствии с определением
равенства матриц, получаем матричную
запись системы:

Введем в рассмотрение матрицы-столбцы
тогда система уравнений может быть
записана так:

Две системы линейных алгебраических
уравнений называются эквивалентными
(равносильными), если всякое решение
одной из них является решением второй,
и наоборот.
Элементарными преобразованиями
системы линейных уравнений называют
следующие действия:

1)
умножение на число, отличное от нуля
одного из уравнений системы;
2)
прибавление к одному уравнению
системы другого ее уравнения,
умноженного на произвольное число,
при этом сохраняются остальные
уравнения системы в том числе и то,
которое прибавлялось;
3)
перестановка местами двух уравнений
системы.

Формула Крамера
Пусть дана система n линейных
алгебраических уравнений с
n-переменными (неизвестными):

Если определитель
матрицы
системы
отличен от нуля и система совместна,
то она и определенная.
Если система имеет решение, то оно
единственно и может быть найдено
по формулам, которые называются
формулами Крамера.

Пример. Решить систему линейных
уравнений

Решение. Вычислим определитель
системы следующим образом. Из первой
строки вычтем удвоенную третью строку,
из третьей-четвертую, тогда получим

Определитель
следовательно,
правило Крамера применимо к системе.
Составим и вычислим определители

Отсюда искомое решение данной системы