Метод анализа иерархий (МАИ) презентация

Метод анализа иерархий
Цель метода анализа иерархий − обоснование выбора наилучшей из предлагаемых альтернатив, характеристики которых являются векторами с разнородными, в том числе и с нечетко определенными, отдельными компонентами.
Суть метода анализа иерархий заключается в поэтапном решении следующих взаимосвязанных частных задач:
построение иерархической структуры показателей (признаков);
оценивание значимости отдельных частных показателей для каждого уровня иерархии;
сравнение имеющихся альтернатив и выбор наилучшей из них.

Метод анализа иерархий
Метод анализа иерархии включает процедуры синтеза множественных суждений, базирующихся на
результатах парных сравнений, которые затем выражаются численно,
оценки приоритетности (важности) критериев (отдельных показателей), а также
оценки альтернативных решений и
нахождения наилучшего из них.
Полученные результирующие значения являются оценками в шкале отношений, что соответствует жестким оценкам.

Метод анализа иерархий
Исходным материалом, на основании которого ЛПР может получить достаточное, четкое и ясное представление о превосходстве одного элемента над другим, являются интуиция и субъективные оценки, несмотря на то, что суждения и их интенсивность характеризуют выражение внутренних чувств и склонностей конкретных экспертов. Суждения расширяют рамки общения, укрупняя элементы, имеющиеся на определенном уровне иерархии.

Основные этапы метода анализа иерархий
1 этап. Описание проблемы и определение цели исследований.
2 этап. Построение иерархии,
начиная с вершины (цели − с точки зрения управления),
через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят последующие уровни),
к самому нижнему уровню (который обычно является перечнем альтернатив).

Основные этапы метода анализа иерархий
Пример четырехуровневой иерархии

Основные этапы метода анализа иерархий

Основные этапы метода анализа иерархий
3 этап. Построение матриц влияния элементов верхнего (предыдущего) уровня на элементы нижнего (следующего) уровня (для каждого из нижних уровней) − по одной матрице для каждого элемента, примыкающего сверху уровня.
В полной простой иерархии любой элемент воздействует на каждый элемент примыкающего сверху уровня.
Элементы каждого уровня сравниваются друг с другом относительно степени их воздействия на элемент предыдущего уровня и получают квадратную матрицу суждений.

Основные этапы метода анализа иерархий
3 этап (продолжение). Парные сравнения проводятся в терминах определения степеней доминирования (предпочтения) одного из элементов над другим в соответствии со шкалой Саати.
Для получения каждой матрицы требуется n(n−-1)/2 суждений (парных сравнений).
Результатом этапа 3 (сравнения значимости влияния элементов следующего уровня на элементы предыдущего уровня) является набор квадратных матриц N1, N2, , Nk с элементами (aij, i, j = 1, 2,…, n), где k − число элементов предыдущего уровня иерархии, n − число элементов следующего уровня иерархии.
Если иерархическая структура не является полной простой иерархией, то возможно уменьшение количества сравнений, т. е. упрощение процесса получения результатов парных сравнений.

Основные этапы метода анализа иерархий
3 этап (продолжение).

Основные этапы метода анализа иерархий
4 этап Определение весов элементов одного уровня
Исходная информация. Иерархия построена, проведены субъективные парные сравнения и составлен набор квадратных матриц N1, N2, …, Nk с элементами (aij, i, j = 1, 2, …, n); где k − число элементов предыдущего уровня иерархии, а n − число элементов следующего уровня иерархии.
Задача. Из группы матриц парных сравнений сформировать набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов данного уровня на элементы примыкающего сверху уровня.

Основные этапы метода анализа иерархий
4 этап (продолжение) Определение весов элементов одного уровня
Способ решения. Относительную значимость (величину, ценность, желательность или вероятность) каждого отдельного элемента определяем на основе вычисления собственных векторов, соответствующих максимальным собственным числам, для всех матриц, а затем нормирования результата для получения вектора приоритетов.

Основные этапы метода анализа иерархий
4 этап (продолжение) Определение весов элементов одного уровня
Технология. Квадратная матрица имеет собственные векторы и собственные значения.
Собственный вектор, соответствующий наибольшему собственному значению достаточно адекватно отражает сравнительную значимость (важность) факторов или результатов в проблемной ситуации.
На факторах с наибольшей важностью концентрируется внимание при решении задачи или разработке плана действия.

Основные этапы метода анализа иерархий
4 этап (продолжение) Определение весов элементов одного уровня
Вычисление собственных векторов требует трудоемких вычислений. В методе анализа иерархий используется упрощенный подход (для вычисления собственного вектора), позволяющий получить хорошие приближения к приоритетам, основанный на вычислении среднего геометрического.
Нормирование компонент осуществляется путем деления каждой компоненты вектора на сумму всех компонент этого вектора

Основные этапы метода анализа иерархий
4 этап (продолжение) Определение весов элементов одного уровня
Если ввести в рассмотрение матрицу влияний элементов нижнего уровня на элементы предыдущего уровня Wl, где l − номер уровня иерархии, то векторы wj будут являться ее столбцами.

Основные этапы метода анализа иерархий
5 этап Определение согласованности
Вместе (одновременно) с получением матриц парных сравнений необходимо провести оценки степени отклонения от согласованности. В противном случае, для различных матриц, для которых такие отклонения превышают установленные пределы, эксперту следует перепроверить суждения, отраженные в матрице. Полученная матрица в общем случае несогласованна.
Анализ согласованности целесообразно проводить для каждой матрицы непосредственно после ее формирования, так как в противном случае оценки весовых коэффициентов элементов конкретного уровня могут быть вычислены неправильно по несогласованным мнениям экспертов, что может повлечь необходимость пересчета нескольких матриц, т. е. влечет возрастание объема бесполезных вычислений.

Основные этапы метода анализа иерархий

Основные этапы метода анализа иерархий
5 этап (продолжение) (продолжение) Определение согласованности
Находят индекс согласованности (ИС) (индекс однородности (ИО)), сравнивая который с соответствующими средними значениями для случайных элементов, получают отношение согласованности (ОС) (отношение однородности (ОО))
Для оценки согласованности матрицы суждений применяют так называемый индекс согласованности, который дает информацию о степени нарушения численной (кардинальной, aikakj = aij) и транзитивной (порядковой) согласованностей:
ИО=ИС = (λmax − n)/(n − 1)

Основные этапы метода анализа иерархий
5 этап (продолжение) (продолжение) Определение согласованности
Полученный ИС сравнивают с величиной, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из шкалы 1/9, 1/8,..., 9 и формировании обратносимметричной матрицы:
В таблице приведены средние согласованности для случайных матриц разного порядка.

Основные этапы метода анализа иерархий
5 этап (продолжение) (продолжение) Определение согласованности
Величина ОС должна быть порядка 10 % или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях можно допустить 20 %, но не более. Если ОС выходит за эти пределы, то экспертам следует проверить свои суждения.
Для улучшения согласованности следует использовать дополнительную информацию или пересмотреть исходные суждения.

Основные этапы метода анализа иерархий
5 этап (продолжение) (продолжение) Определение согласованности
Величина ОС должна быть порядка 10 % или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях можно допустить 20 %, но не более. Если ОС выходит за эти пределы, то экспертам следует проверить свои суждения.
Для улучшения согласованности следует использовать дополнительную информацию или пересмотреть исходные суждения.
Сложная математика не может «улучшить» то, что ЛПР не хочет менять.

Основные этапы метода анализа иерархий

Основные этапы метода анализа иерархий
8 этап
Согласованность всей иерархии можно найти, перемножая каждый индекс согласованности на приоритет соответствующего критерия и суммируя полученные числа.
Затем результат делится на выражение такого же типа, но со случайным индексом согласованности, соответствующим размерам каждой взвешенной приоритетами матрицы.
Приемлемым является отношение согласованности около 10 % или менее.

Применение МАИ предполагает наличие матрицы парных сравнений

(2)

Метод анализа иерархий на основе построения полностью согласованной матрицы парных сравнений

1. Матрица относительных весов и ее свойства

1. Матрица относительных весов и ее свойства

(1)
(2)

Метод анализа иерархий на основе построения полностью согласованной матрицы парных сравнений

(3)
Таким образом формируются все матрицы парных сравнений, требуемые для реализации МАИ.
Так как построенные матрицы будут согласованными, то проводить анализ согласованности не требуется.

Пример
ПРИМЕР применения «обычного МАИ»
Построение иерархии для ЗПР.
Требуется выбрать наиболее предпочтительную стратегию развития одной из отраслей машиностроения в некоторой стране.
Имеются три возможных сценария развития:
импорт соответствующей продукции (т.е. фактический отказ от развития отрасли в своей стране);
создание только сборочного производства;
развитие в своей стране полного цикла производства. Качество продукции при всех вариантах решения будет примерно одинаковым.

Пример
При принятии решения учитывается мнение следующих сторон:
представители отрасли машиностроения: заинтересованы только в получении прибыли;
представители отраслей-потребителей: заинтересованы прежде всего в получении продукции машиностроения по достаточно низким ценам и в меньшей степени – в получении этой продукции в кратчайшие сроки;
государственные органы: заинтересованы прежде всего в налоговых поступлениях, немного меньше – в создании новых рабочих мест и значительно меньше – в низких ценах на продукцию.

Пример
Известно, что наибольшее влияние на выбор сценария могут оказать представители отраслей-потребителей, немного меньшее (и примерно равное между собой) – государственные органы и представители отрасли машиностроения.
Возможные сценарии развития отрасли имеют следующие характеристики.
Относительно прибыли:
При ориентации на импорт машиностроительная отрасль практически не будет иметь прибыли.
В случае создания сборочного производства прибыль будет составлять примерно 15 млн. денежных единиц (д.е.) в год,
При развитии полного цикла производства – около 30 млн.

Пример
Относительно цены:
Цена на продукцию будет минимальной при создании сборочного производства.
При импорте продукции она будет совсем немного выше
При развитии полного цикла – существенно выше.
Относительно сроков:
Сроки появления продукции на рынке при импорте составят 5-6 месяцев,
При создании сборочного производства – 3-4 года,
При полном цикле производства – 5-6 лет.

Пример
Относительно налоговых поступлений:
Налоговые поступления от импорта продукции составят примерно 2 млн. д.е. в год
От предприятий со сборочным производством – примерно 8 млн.
От предприятий полного цикла – 9 млн.
Относительно создания новых рабочих мест:
В случае ориентации на импорт продукции новые рабочие места создаваться не будут.
Развитие сборочного производства позволит создать примерно 6000 новых рабочих мест
Развитие полного цикла – примерно 7000.

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример
Значение показателя CR для матрицы в таблице справа говорит о том, что уровень согласованности ее элементов является достаточным (для таблице слева – матрица парных сравнений размерности 2 сверхтранзитивна по определению).
На основе полученных значений можно сформировать общую матрицу W 12 приоритетов элементов 2-го уровня (критериев) относительно элементов 1-го уровня (заинтересованных сторон).

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример
Подставляя в данную формулу соответствующие матрицы приоритетов, получаем:

Пример

Пример

Пример

Пример
Подставляя в нее числовые значения и учитывая, что для матриц парных сравнений размерности 1 и 2 значение CIS нулевое, получаем:

Пример
Наконец вычисляем глобальный показатель согласованности:
Поскольку R < 0,1, можно сделать вывод об общей согласованности нашей иерархической модели.