Некоторые следствия из аксиом презентация

Теорема (о плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку). Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна
Дано: a, А∉a
Доказать:
Ι)проходит плоскость
α;
ΙΙ) плоскость α -
единственная

Доказательство:
Ι)1) Возьмем т. Р∈a; Q∈a;
по условию А∉a ⇒
т. Р, Q, А не лежат на
одной прямой ⇒
по А1 через т. Р,Q, А
проходит плоскость α
2) По 1) шагу т. Р∈α, Q∈α
и т. Р∈a, Q∈a ⇒
по А2 прямая a⊂α

ΙΙ) (от противного)
Пусть через прямую a и
т. А∉a проходит другая
плоскость β ⇒
через т. P, Q, A, не
лежащие на одной прямой,
проходят две различные
плоскости, чего не может
быть по А1 ⇒
плоскости α и β-совпадают,
т.е. плоскость α-
единственная

Теорема (о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна
Дано: a∩b=М
Доказать:
Ι) проходит плоскость
α;
ΙΙ) плоскость α –
единственная

Доказательство:
Ι)1) Возьмем т. А∈a и В∈b
(А и В отличные от М)⇒
по А1 через т. А, В, М, не
лежащие на одной прямой,
проходит плоскость α
2) Т. к. А∈α, М∈α и А∈a, М∈a
⇒
по А2 прямая a⊂α
Т.к. В∈α, М∈α и В∈b, М∈b ⇒
по А2 прямая b⊂α