Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Лагранжа презентация

Доказательство :

Геометрический смысл формулы Лагранжа.
Запишем формулу Лагранжа в виде , где a < c < b. Отношение есть угловой коэффициент секущей АВ, а f'(с) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке х = с
Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции f(x) найдется точка С(с, f(с)), в которой касательная к графику f(x) параллельна секущей АВ.

Следствия:
Следствие 1.Если f'(х) = 0 на некотором промежутке (a, b), то функция f(x) постоянна на этом промежутке.
Доказательство. Пусть f'(х) = 0 для любого х є (a, b). Возьмем произвольные х1 и х2 из (a, b) и пусть х1 < х2. Тогда по теореме Лагранжа существует точка с є (a, b) такая, что f(х2) – f(х1) = f'(с) (х2 – х1). Но по условию f'(х) = 0, стало быть, f'(с) = 0, где х1 < с < х2. Поэтому имеем f(х2) – f(х1) = 0 или f(х2) = f(х1). А так как х1 и х2 – произвольные точки из (a, b), то имеем f(x) = с.
Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Доказательство. Пусть f'1(х) = f'2(х) при х є (a, b).
Тогда (f1(х) – f2(х))' = f'1(х) – f'2(х) = 0. Следовательно, согласно следствию 1, функция f1(х) – f2(х) есть постоянная, т.е. f1(х) – f2(х) = с для . Теорема доказана.
Для отрезка [х, х + Δх] формула Лагранжа будет иметь вид:
f(х + Δх) – f(х) = f'(с) Δх.

Применение следствия т. Лагранжа в жизни:
Как камеры фиксируют превышение скорости, даже не снимая это