Приложения определенного интеграла презентация

Приложения определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции
Пусть на плоскости Оху задана фигура, ограниченная отрезком оси Ох, прямыми х=а, х=b и графиком непрерывной функции y=f(x). Эта фигура – криволинейная трапеция, площадь которой определяется по формуле:

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции
прямой х=1 и осью Ох.
Решение: По формуле имеем
При

При

Если фигура ограничена снизу и сверху графиками непрерывных функций и
, то площадь криволинейной трапеции определяется по формуле:

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и
Решение:
Найдем абсциссы точек пресечения прямой с параболой Для этого решим систему:
Следовательно,

Если функция задана параметрическими уравнениями , причем
, то площадь криволинейной трапеции определяется по формуле:

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
Решение:
Эллипс симметричен относительно осей координат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, находящейся в первой четверти, и результат домножить на 4.

В первой четверти
В частности, если то получаем формулу площади круга

Площадь криволинейного сектора
Определение: Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ, заданной в полярной системе координат уравнением и двумя лучами, которые образуют с полярной осью углы α и β, называют криволинейным сектором.

Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением причем функция
непрерывна и неотрицательна на , тогда площадь S криволинейного сектора определяется по формуле:

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда
Решение:
При изменении φ от 0 до
2π полярный радиус
описывает кривую,
ограниченную криволинейным
сектором, поэтому имеем:

Длина дуги кривой
Пусть плоская кривая АВ задана уравнением
где f(x) непрерывная функция на отрезке [a; b].
Разобьем кривую АВ на n произвольных частей точками А=М0, М1, …, Мn-1,Мn=B.

Соединив соседние точки хордами, получим некоторую вписанную в кривую АВ ломаную.
Через обозначим длину одного звена Mi-1Mi ломаной.
Определение: Длиной L дуги АВ называется тот предел, к которому стремится дуга вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

Если функция непрерывна вместе со своей производной на , то длина L дуги АВ выражается формулой:

Пример: Вычислить длину дуги полукубической параболы , если
Решение:

Так как на данном отрезке функция имеет две симметричные и одинаковые по длине ветви, то

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями , то длина дуги
кривой определяется по формуле:
Или

Пример: Вычислить длину одной арки циклоиды:
Решение:

Итак,

Если кривая АВ задана в полярных координатах уравнением , где имеет непрерывную производную на отрезке и точкам А и В соответствуют значения ϕ, равные α и β, то длина дуги кривой определяется по формуле:

Пример: Вычислить длину кардиоиды:
Решение:

Объем тела вращения
Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , имеет объем:
или

Пример: Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
вокруг оси Ох.
Решение:

Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , имеет объем:
где обратная
функция для

Пример: Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
вокруг оси Оу.
Решение:

Площадь поверхности вращения
Если функция непрерывна и неотрицательна вместе со своей первой производной на отрезке , тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ох, имеет площадь Р, которая может быть вычислена по формуле:

Пример: Определить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси Ох.
Решение:

Если линия задана параметрическими уравнениями
то площадь поверхности, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ох, равна:

Пример: Определить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой:
Решение:

Следовательно,

Вычисление работы
Под действием некоторой силы F материальная точка М движется по прямой OS, причем направление силы совпадает с направлением движения. Тогда работа, произведенная силой F при перемещении точки М из положения в положение определяется по формуле: