Системы линейных уравнений. Лекция 2 презентация

Лекцию читает
к.т.н., доцент
БОБРОВА
ЛЮДМИЛА ВЛАДИМИРОВНА

Модуль 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.4. Системы линейных уравнений

1.4.1. Основные понятия
Система двух линейных уравнений с двумя
неизвестными
- переменные
-коэффициенты системы
-свободные члены

Решением системы линейных уравнений
называется совокупность значений неизвестных, которая при подстановке в систему обращает все уравнения в тождества
Пример 1
Решением системы
являются значения: х1 = 1; х2 = -2

Система линейных уравнений называется cовместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения
Если решение одно –система определенная, если больше чем одно- неопределенная

1.4.2.Формулы Крамера
для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

1.4.2.Формулы Крамера
для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

1.4.2.Формулы Крамера
для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Пример 1.
Решить систему уравнений:
Решение

Самостоятельная работа 1
Задание.
Варианты A. 31 B. -39
ответов: C. 27 D. 13
Вычислить определитель D2
системы уравнений

Сверим ответы?

D=13
D1=26
D2=-39
Находим значение переменной X1

D=13
D1=26
D2=-39
Самостоятельная работа 2
Задание.
Вычислить значение переменной X2

D=13
D1=26
D2=-39
Сверим ответы?

1.Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными ,то система совместна и имеет единственное решение:
1.4.3.Теорема Крамера для системы n уравнений c n неизвестными

Теорема Крамера для системы n уравнений c n неизвестными
2. Если и хотя бы один из определителей
отличен от нуля, то система уравнений несовместна

Теорема Крамера для системы n уравнений c n неизвестными
3.Если все определители равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений.

Пример 2.
Решить систему уравнений:

Повторение

+
Повторение

Повторение

Повторение

+
Повторение

Повторение

Повторение

Повторение

Повторение

Повторение

Повторение

Вычисление определителя матрицы третьего порядка. Правило треугольника
+
-
Повторение

Пример 2.
Решить систему уравнений:

Пример 2.
Решить систему уравнений:

Пример 2.
Решить систему уравнений:

Пример 2.
Решить систему уравнений:

Пример 2.
Решить систему уравнений:

Задание.
Определите последнюю «тройку» чисел
Варианты A. 1*1*1 B. 1*5*4
ответов: C. 1*2*(-4) D. 1*(-4)*1
Самостоятельная работа 4

Пример 2.
Решить систему уравнений:

Пример 2.
Решить систему уравнений:

Пример 2.
Система определенная, имеет решение
Решить систему уравнений:

D = -2

D = -2
D1 = -6

Самостоятельная работа 4
Задание.
Найдите верно записанный определитель D3
Самостоятельная работа 4
Задание.
Найдите верно записанный определитель D3
Самостоятельная работа 4
Задание.

D = -2
D1 = -6
D2 = 2

D = -2
D1 = -6
D2 = 2
D3 = -4

D = -2
D1 = -6
D2 = 2
D3 = -4
Самостоятельная работа 6
Задание.
Определите значение переменной х3

D = -2
D1 = -6
D2 = 2
D3 = -4

Проверка
X1 = 3
X2 = -1
X3 =2

1.5. Матричный метод решения систем линейных уравнений (СЛУ)
Решаем систему уравнений:
(4)

1.5. Матричный метод решения систем линейных уравнений (СЛУ)
Решаем систему уравнений:
(4)
Представим ее в виде:
(5)

Введем обозначения матриц,
состоящих из коэффициентов и переменных:

(5)
Введем обозначения матриц,
состоящих из коэффициентов и переменных:
Тогда систему (5) можно записать
в матричном виде:
(6)

Решаем систему (6):
(6)
Домножим обе части (6) на А-1:

Решаем систему (6):
(6)
Домножим обе части (6) на А-1:
Но по определению обратной матрицы

Решаем систему (6):
(6)
Домножим обе части (6) на А-1:
Но по определению обратной матрицы
А при умножении матрицы на единичную получаем основную матрицу:

Решаем систему (6):
(6)
Домножим обе части (6) на А-1:
Но по определению обратной матрицы
А при умножении матрицы на единичную получаем основную матрицу:
Значит, матричное решение системы уравнений:
(7)

Пример 6. Решить систему уравнений матричным методом
Решение

Пример 6. Решить систему уравнений матричным методом
Решение
Матрица алгебраических дополнений для транспонированной матрицы А

Алгебраическое дополнение элемента aik:
Здесь Mik - минор элемента aik - определитель,
полученный из D(A) вычеркиванием строки I и столбца k:

D(A) = 3
Вычисляем алгебраические дополнения для первой строки

D(A) = 3
Вычисляем алгебраические дополнения для первой строки
Второй столбец: i=1; k=2

D(A) = 3
Вычисляем алгебраические дополнения для первой строки
A11 = 5
A12 = -7

D(A) = 3
Вычисляем алгебраические дополнения для второй строки
A11 = 5
A12 = -7
A13 = -6

D(A) = 3
Вычисляем алгебраические дополнения для второй строки
Второй столбец: i=2; k=2
A11 = 5
A12 = -7
A13 = -6

D(A) = 3
Вычисляем алгебраические дополнения для второй строки
A11 = 5
A12 = -7
A13 = -6
A21 = -3
A22 = 6

D(A) = 3
Вычисляем алгебраические дополнения для третьей строки
A11 = 5
A12 = -7
A13 = -6
A21 = -3
A22 = 6
A23 = 3

D(A) = 3
Вычисляем алгебраические дополнения для третьей строки
Второй столбец: i=3; k=2
A11 = 5
A12 = -7
A13 = -6
A21 = -3
A22 = 6
A23 = 3

D(A) = 3
Самостоятельная работа
Найдите алгебраическое дополнение А33
A11 = 5
A12 = -7
A13 = -6
A21 = -3
A22 = 6
A23 = 3
A31 = -1
A32 = -1

D(A) = 3
Вычисляем алгебраические дополнения для третьей строки
A11 = 5
A12 = -7
A13 = -6
A21 = -3
A22 = 6
A23 = 3
A31 = -1
A32 = -1

D(A) = 3
Составляем обратную матрицу. Алгебраические дополнения берем для транспонированной матрицы
A11 = 5
A12 = -7
A13 = -6
A21 = -3
A22 = 6
A23 = 3
A31 = -1
A32 = -1
A33 = 3

Находим решение системы уравнений:

Решение системы уравнений:

Проверка