Способы задания и свойства числовых последовательностей презентация

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Например, для нашей последовательности:
Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, a), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: a1, a2 ..., a10, ..., an.

Определение 1.
Функцию вида у= f (х), х ϵ Ν называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f (n) или у1, у2, у3,…, уn,…, или (уn).
(аn) – последовательность
а1 ; а2 ; а3 ;…. аn - члены последовательности Первый n-ый
член послед. член послед.
Последовательность

Свойства числовых последовательностей
Последовательность {an} называется монотонной, если an+1≥ an или an+1≤an для всех n.
В первом случае это монотонно неубывающая, во втором – монотонно невозрастающая последовательность.
Если an+1>an или an+1< an для всех n, то говорят, что последовательность {an} строго монотонна (возрастает в первом случаем и убывает во втором).
Последовательность {an} называется ограниченной, если существуют такие числа c и C, что для всех членов последовательности выполняются неравенства c ≤ an ≤ C.
Ограниченной сверху называется последовательность, для которой существует такое число C, что для всех членов последовательности выполняется неравенство an ≤ C.
Ограниченной снизу называется последовательность, для которой существует такое число c, что для всех членов последовательности выполняется неравенство an ≥ С.
Если говорят, что последовательность ограничена, это означает, что она ограничена и сверху и снизу.

Если существует такое натуральное T, что, начиная с некоторого n, выполняется равенство an = an+1, то последовательность называется периодической, а T-длиной её периода.
Используя понятия монотонности, ограниченности и периодичности, можно описать немало простейших свойств последовательностей. Вот некоторые из них:
Если последовательность {an} монотонно возрастающая, то последовательность {-an} монотонно убывающая, и наоборот.
Если последовательность {an} монотонно невозрастающая, то последовательность {-an} монотонно неубывающая, и наоборот.
Монотонно возрастающая ограниченна снизу, монотонно убывающая – сверху.
Монотонно возрастающая или монотонно убывающая последовательность не может быть периодической.
Периодическая последовательность всегда ограничена.

Примеры бесконечных числовых последовательностей
1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.
2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.
1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.
1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.
2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.

Способы задания числовых последовательностей
Словесный
Аналитический
Рекуррентный

Словесный способ.
Правило задания описано словами, без указания каких-либо формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.
Пример 1. Последовательность простых чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… .
Пример 2. Произвольный набор чисел:
1,4,12,25,26,33,39,… .
Пример 3. Последовательность четных чисел: 2,4,6,8,10,12,14,16,… .

Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6…
Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…
Примеры последовательностей.

Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6…
Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…
Ответ: Перемножаются две цифры, входящие
в предыдущее число
Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7
Примеры последовательностей.

Аналитический способ задания числовых последовательностей
Последовательность задана аналитически, если указана формула n-ого члена.
Например,
yn=n2 – аналитическое задание последовательности 1, 4, 9, 16, …
2) yn=С – постоянная (стационарная) последовательность
2) yn=2n – аналитическое задание последовательности 2, 4, 8, 16, …

Рекуррентный способ задания числовых последовательностей
Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-ый член, если известны ее предыдущие члены
арифметическая прогрессия задается рекуррентными соотношениями a1=a, an+1=an + d
геометрическая прогрессия b1=b, bn+1=bn * q

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…
Числа Фибоначчи.
Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
Леонардо Фибоначчи - итальянский математик.
(родился около 1170 — умер после 1228),
Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

Последовательность
чисел Фибоначчи
Филлотаксис (листорасположение) — правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха.
Семечки упорядочены
в два ряда спиралей,
один из которых идет
по часовой стрелке,
другой против неё.

Арифметическая прогрессия
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … возрастающая арифметическая прогрессия, у которой d = 2.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.
an+1 = an + d , n є N
d = an+1 - an

Геометрическая прогрессия
Пример: 54 , 18, 6, 2, … -убывающая геометрическая прогрессия,
у которой q = 1/3.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
bn = bn - 1 · q
bn = b1 · qn - 1

Развитие учения о прогрессиях
Прогрессия (от латинского progressio) -«движение вперёд»
Наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.

Задача 1.
В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении первой минуты одна из них делится на две. Запишите колонию, рожденную одной бактерией за семь минут.(см. рисунок).
1). Выпишите последовательность в соответствии с условием задачи.
2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.
3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.

Решение:
1). Выпишите последовательность в соответствии с условием задачи.
1;2;4;8;16;32;64.
или (bп) - последовательность, b1 =1; b2=2; b3=4; b4=8; b5=16; b6 =32; b7 =64;
2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.
b3 : b2 =4 : 2=2 ;
b4 : b3 =8 : 4=2;
b5 : b4 = 16 : 8=2; и т.д. bп+1: b п = q q -знаменатель прогрессии.
q = b2:b1= b3:b2=b4:b3=…= bп+1: b п
3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.
b2 = 2b1
b3= 2 b2
b4= 2b3…..
bп+1 = q b п
Такую последовательность в математике называют геометрической прогрессией.

Задача 2 Найдите закономерности
и покажите их с помощью стрелки:
1; 4; 7; 10; 13; …
В порядке возрастания
положительные нечетные
числа
10; 19; 37; 73; 145; …
В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1
6; 8; 16; 18; 36; …
В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
Увеличение
на 3
Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6

Найдите закономерности
и покажите их с помощью стрелки:
1; 4; 7; 10; 13; …
В порядке возрастания
положительные нечетные
числа
10; 19; 37; 73; 145; …
В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1
6; 8; 16; 18; 36; …
В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
Увеличение
на 3
Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

Задача 3
Определить, какие числовые последовательности являются геометрической прогрессией, а какие арифметической:
3; 6; 12; 24; 48; 56…
1; 12; 23; 34; 45 …
−99; 33; −11…
−6; 5; 17; 28; 39…
64; 16; 4; 1…
2; 4; 8; 18…

Сравним наши ответы:
Геометрическая прогрессия – 3, 6.
Арифметическая прогрессия – 2, 4.
Не является ни арифметической, ни геометрической прогрессиями - 1, 5, 7.

Геометрическая прогрессия {bn} - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Как вы думаете, каким может быть q?
Положительным и отрицательным, но не нулем. Допустим, что q у нас положительное. Пусть в нашем случае q=3, а b1=4.
Чему равен второй член b2 и b3?
b2=4⋅3=12
b3=12⋅3=36
Соответственно, q>0, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны.
А что если q отрицательное? Например, q=−3, а b1=4. Чему равен второй член b2 и b3?
b2=4⋅(−3)=−12
b3=−12⋅(−3)=36
Если q<0, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются.
q – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии.

Вернемся к нашей последней прогрессии q=−3, а b1=4 и попробуем так же как и в арифметической найти ее 6 член. Как вы уже догадываетесь, есть два способа его нахождения.
Последовательно умножаем каждый член на q.
b2=b1⋅ q =4⋅−3=−12
b3= b1⋅ q ⋅ q = b1⋅ q2 =−12⋅(−3)=36
b4= b1⋅ q ⋅ q⋅ q= b1⋅ q3 =36⋅(−3)=−108
b5= b1⋅ q4 =−108⋅(−3)=324
b6= b1⋅ q5 = 324⋅(−3)=−972
Вывод: Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером, то мы умножаем первый член геометрической прогрессии b1 на знаменатель q в степени, которая на 1 единицу меньше, чем порядковый номер искомого числа.
b4=4⋅(−3)4−1=4⋅(−3)3=−108
b6=b1⋅q 6−1
b6=4⋅(−3)6−1=4⋅(−3)5=−972
Приведем формулу в общий вид и получим:
bn=b1⋅qn−1 - уравнение членов геометрической прогрессии.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Совсем недавно мы говорили о том, что q может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть особые значения q при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. При −1
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из 5 членов.
Допустим, b1=1, а q=1/2, тогда:
bn=b1⋅q n−1
b2=1⋅1/2=1/2
b3=1/2⋅1/2=1/4
b4=1/4⋅1/2=1/8
b5=1/8⋅1/2=1/16
Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в 1/2 раза, но будет ли какое-либо число bn=0? Вы сразу же ответите – «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая – убывает, а нулем никогда не становится.

Свойство арифметической прогрессии.
an=(an+1+an−1)/2 - свойство членов арифметической прогрессии.
Свойство геометрической прогрессии.
Как найти b3, зная b2 и b4?
Умножим
b2⋅b4=b1⋅q ⋅b1⋅q3= b12⋅q4
1) b2⋅b4=b12⋅q4
2) b3=b1⋅q2​ следовательно b3=b2⋅b4 Почему?
((из 1) следует b12= b2⋅b4/ q4 , следовательно b1=b2⋅b4q4 подставим b1 в 2) и сократим q))
свойство членов геометрической прогрессии

Сумма членов геометрической прогрессии.

Формулы для прогрессий

Задача 5
Ученик 5 А класса Вася, заболел гриппом, но продолжает ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в свою очередь, заражают еще двух человек и так далее. Всего в классе 31 человек. Через сколько дней гриппом будет болеть весь класс?
Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть 1 человек. 2 -ой член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в первый день своего прихода. Общая сумма членов прогрессии равна количеству учащихся 5А. Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:
Весь класс заболеет за 5 дней.