Содержание
- 2. 14.1. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА Рассмотрим ряды, членами которых являются не числа, а функции, определенные на
- 3. Степенным называется ряд 1 Числа С0…Сn называются коэффициентами степенного ряда.
- 4. При разных значениях х будут получаться разные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися. Совокупность
- 5. Частичная сумма степенного ряда будет функцией от переменной х . Следовательно, последовательность частичных сумм является функциональной
- 6. ПРИМЕР. Найти область сходимости степенного ряда
- 7. РЕШЕНИЕ. Данный ряд можно рассматривать как геометрический при который сходится при Т.е. областью сходимости будет интервал
- 8. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ 1 Если степенной ряд сходится при то он сходится, и при том абсолютно, при
- 9. 2 Если степенной ряд расходится при то он расходится при всех значениях х, таких что
- 10. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: По условию ряд (1) сходится при Следовательно выполняется необходимый признак сходимости: Поэтому последовательность 1
- 11. Рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин ряда (1): Запишем его в виде: ограничена, т.е. существует такое
- 12. который можно рассматривать как сходящийся геометрический ряд при Следовательно по признаку сравнения заданный ряд тоже сходится.
- 13. 2 По условию ряд (1) расходится при Покажем, что он будет расходится для всех х, таких
- 14. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число что при ряд сходится; при ряд расходится. расходится
- 15. Если степенной ряд сходится не только при х=0, то существует такое положительное число R (возможно и
- 16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть Х – множество точек х, в которых ряд (1) сходится. По условию теоремы это
- 17. Если не существует такой точки х1, где ряд расходится, то и тогда множество Х не ограничено.
- 18. Пусть теперь х – любе число, удовлетворяющее условию если Такие значения х находятся вне промежутка сходимости
- 19. Число R называется радиусом сходимости, а интервал (-R,R) – интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала
- 20. Коэффициенты этого ряда, по крайней мере, начиная с некоторого номера, отличны от нуля. По признаку Даламбера
- 21. Радиус сходимости степенного ряда
- 22. ПРИМЕР. Найти область сходимости степенного ряда
- 23. РЕШЕНИЕ. Интервал сходимости ряда
- 24. Выясним поведение ряда на концах интервала. При ряд принимает вид: Это знакочередующийся ряд. Проверяем выполнение признака
- 25. 1 Члены ряда убывают по абсолютной величине: 2 Предел общего члена равен нулю: Ряд сходится.
- 27. Скачать презентацию