Сумма углов треугольника презентация

1. Сформулируйте теорему, которую мы доказали.
2. Выделите условие и заключение теоремы.
3. К каким фигурам применима теорема?
4. Сформулируйте теорему со словами «если …, то…».
Дано: ∆ABC
Доказать: ∟A + ∟B + ∟C = 180°
План доказательства теоремы.
1. Через одну из вершин треугольника
провести прямую, параллельную
противолежащей стороне.
2. Доказать равенство накрест лежащих углов.
3. Записать сумму углов при вершине
развернутого угла
и выразить их через углы треугольника.

Задача
Дано: ∆ ABC,
∟ A = 50°,
∟ B = 100°,
Найти: ∟ C.
Решение:
டA + டB + டC = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) ⇒ டC = 180° - (டA + டB) = 180° - (50° + 100°) = 30°.
Ответ: 30°.

Дано: ∆ ABC
Доказать:
∟A + ∟B + ∟C = 180°
Доказательство:
1.Проведем BD || АС (аксиома параллельных прямых).
2.ட3 = ட4 (так как это накрест лежащие углы при BD || АС и секущей ВС).
3.டА + டАВD = 180° (так как это односторонние углы при BD || АС и секущей АВ).
4.டА + டАВD = ட1 + (ட2 + ட4) = ட1 + ட2 + ட3 = 180°, т.е. ∟A + ∟B + ∟C = 180°
что и требовалось доказать.

Дано: ∆ ABC
Доказать:
∟A + ∟B + ∟C = 180°
Доказательство:
1. Продолжим сторону АС и проведем СЕ || АВ (аксиома параллельных прямых).
2. ∟A = ட1 (так как это соответственные углы при АB || СЕ и секущей АС).
3. ∟B = ட2 (так как это накрест лежащие углы при АB || СЕ и секущей ВС).
4. ட1+ ட2 +ட3 = 180о, т.е. ∟A + ∟B + ∟C = 180°
что и требовалось доказать.
В Е
2
3 1
С
А

Следствие 2.
Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.
Следствие 1. В любом треугольнике все углы острые, либо два угла острых, а третий тупой или прямой.
Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°.
В
А
С

Теорема позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам.

Найти неизвестные углы треугольника АВС.

Чему равна сумма внешних углов треугольника?
ЗАМЕЧАНИЕ.
Когда задают вопрос: «Чему равна сумма внешних углов треугольника?», чаще всего имеют в виду именно сумму углов, взятых по одному при каждой вершине. Поэтому следует уточнить формулировку — нужно найти сумму углов, взятых по одному при каждой вершине или сумму всех внешних углов. Сумма всех шести внешних углов, соответственно, в два раза больше: ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2(∠1+∠2+∠3)=
720 о
Всего у треугольника есть шесть внешних углов — по два при каждой вершине.
Углы каждой пары равны между собой (как вертикальные):
∠1=∠4, ∠2=∠5, ∠3=∠6.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Поэтому ∠1=∠А+∠С, ∠2=∠А+∠В, ∠3=∠В+∠С.
Отсюда сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна
∠1+∠2+∠3=∠А+∠С+∠А+∠В+∠В+∠С=2(∠А+∠В+∠С).
Так как сумма углов треугольника равна 1800 ,то ∠А+∠В+∠С=1800 .Значит, ∠1+∠2+∠3=2∙180 0=3600

Можно ли измерить углы любого треугольника?
Это вопрос-шутка, т.к. существует Бермудский треугольник, находящийся в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида, у которого невозможно измерить углы.

ИТОГ урока:
Домашнее задание.
Придумайте другие способы доказательства теоремы о сумме углов треугольника, используя следующие чертежи.
2. П. 30-31, № 227(а), 228(а,в)
3. Подготовьте презентацию о развитии учения о треугольниках и об истории доказательства теоремы о сумме углов треугольника (литература: Г. И. Глейзер «История математики в школе 5 — 7 классы») — за 2 недели.
Что нового узнали?
В чем это новое заключается?
Где это применяется?

№237
Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию.
В
А С
Дано: ∆ ABC, АВ=ВС,
∟A в 2 раза больше, чем ∟В.
Найти: ∟A, ∟В, ∟С.
Решение:
1. Пусть ∟В =хо. Тогда ∟A =2хо (по условию).
∟С =2хо (∟С= ∟А как углы при основании равнобедренного треугольника).
2. Так как ∟A + ∟B + ∟C = 180° , то
х+2х+2х= 180°
5х= 180°
х= 36° .Отсюда, 2х= 72° .
Ответ: ∟A= ∟С= 72° , ∟В= 36°
2х
2х
х

№237
Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен а) 40о ; б) 100о .
Решение:
а) Возможны два случая.
1 случай …
2 случай…
б) только 1 случай: угол 100° …
40
40

Самостоятельная работа

Прямоугольный треугольник
АС- катет
ВС – катет
АВ – гипотенуза
Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa.
Термин катет происходит от греческого слова «катетос ».
Евклид употреблял выражения:
«стороны, заключающие прямой угол», - для катетов;
«сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.
А
В
С

Соотношения между сторонами и углами треугольника
Следствия 1
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствия 2
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
В треугольнике:
против большей стороны лежит больший угол;
против большего угла лежит большая сторона.