Свойства биноминальных коэффициентов. Бином Ньютона презентация

Бином Ньютона

Основные свойства биномиальных коэффициентов:

Бином Ньютона.
Бином (лaт. bis − два, nomen - имя)
или двучлен — частный случай
многочлена (полинома), который
состоит из двух слагаемых
одночленов (мономов).
Например:
a + b, a − b, a2 + b2, 3b −4b3

Степени суммы двух чисел:
Составим таблицу из коэффициентов в записанных суммах

Треугольник
Паскаля
Составленная таблица
получила название
5-я строка (n = 4) получается так:
1, 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, 1
n = 0; 1
n = 1; 1 1
n = 2; 1 2 1
n = 3; 1 3 3 1
n = 4; 1 4 6 4 1
n = 5; 1 5 10 10 5 1
n = 6; 1 6 15 20 15 6 1
n = 7; 1 7 21 35 35 21 7 1

Разложение бинома с помощью треугольника Паскаля.
Пример 1
Коэффициенты 7 строки:
1; 7; 21; 35; 35; 21; 7; 1

Пример 2
Пример 3
Коэффициенты 7 строки:
1; 7; 21; 35; 35; 21; 7; 1
Коэффициенты 4 строки:
1; 4; 6; 4; 1

Биномиальные коэффициенты
В основе построения треугольника Паскаля
лежит свойство сочетаний
Поэтому коэффициенты разложения степени
бинома можно записать с помощью числа
сочетаний

Степени суммы двух чисел:
Заметим, что
и
Аналогично:
и т. д.

Правило Паскаля:
Биноминальные коэффициенты:

Бином Ньютона:
Бином Ньютона – формула, выражающая целую
положительную степень суммы двух слагаемых
(двучлена, бинома) через степени этих слагаемых.
Частными случаями бинома Ньютона являются
формулы квадрата и куба суммы
двух слагаемых a и b

Применение формулы бинома Ньютона
Пример 4

Самостоятельная работа Задание 1. Найти разложение бинома

Задание 2.
У многочлена P(x) найдите коэффициент при:
Задание 3.
4Р3+3А210-С25