Слайд 2
![Лемма 1. Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке Доказательство.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-1.jpg)
Лемма 1.
Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке
Доказательство. Выберем
По
теореме Абеля ряд сходится.
имеем
Последнее неравенство означает, что ряд (*) равномерно сходится в
Слайд 3
![Лемма 2. Степенной ряд, составленный из производных ряда (*) имеет](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-2.jpg)
Лемма 2.
Степенной ряд, составленный из производных ряда (*) имеет тот
же радиус сходимости, что и ряд (*).
Доказательство. Допустим, что существует
Тогда Ряд производных имеет вид
(**)
Слайд 4
![Если составить ряд из производных ряда (**), то у него](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-3.jpg)
Если составить ряд из производных ряда (**), то у
него тоже радиус сходимости равен
Т. е. все степенные ряды, полученные последовательным дифференцированием ряда (*) имеют одинаковый радиус сходимости и равномерно сходятся в любом интервале, принадлежащим области сходимости.
Слайд 5
![Свойства степенных рядов. 1) Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-4.jpg)
Свойства степенных рядов.
1) Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в
интервале сходимости ряда.
Пример. Функция непрерывна
всюду, за исключением точки Но она является суммой ряда только при
2) Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости
3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале сходимости.
Слайд 6
![13.4. Разложение функций в степенные ряды. 13.4.1 Ряд Тейлора. Сумма](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-5.jpg)
13.4. Разложение функций в степенные ряды.
13.4.1 Ряд Тейлора.
Сумма степенного
ряда непрерывна и бесконечное число раз дифференцируема в интервале сходимости. Рассмотрим обратный вопрос. Когда можно утверждать, что функция является суммой некоторого ряда?
Слайд 7
![Пусть где - коэффициенты, которые нужно определить. Тогда Следовательно (**)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-6.jpg)
Пусть где - коэффициенты,
которые нужно определить.
Тогда
Следовательно (**)
Слайд 8
![Определение. Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-7.jpg)
Определение.
Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд
(**) относительно разности
коэффициенты которого выражаются через значения функции и ее производных в точке .
- коэффициенты Тейлора функции
в точке .
Слайд 9
![13.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора. При каких условиях](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-8.jpg)
13.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора.
При каких условиях ряд
Тейлора для функции
сходится и его сумма равна ?
Обозначим - многочлен -й степени (частичная сумма ряда Тейлора)
Остаточный член ряда Сходимость
ряда к функции означает, что
или
Слайд 10
![- ошибка аппроксимации функции многочленом . Пусть - многочлен -й](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-9.jpg)
- ошибка аппроксимации функции многочленом .
Пусть - многочлен -й
степени. Продифференцируем раз. Последующие производные равны нулю. Получим формулу Тейлора для многочленов
Слайд 11
![Пример. Разложить функцию по степеням](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-10.jpg)
Пример.
Разложить функцию
по степеням
Слайд 12
![13.4.3. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора. Запишем функцию в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-11.jpg)
13.4.3. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора.
Запишем функцию в виде
Докажем
теорему о структуре , которая позволит устанавливать, стремится ли к нулю при , т. е. разлагается в ряд Тейлора или нет.
Слайд 13
![Теорема. Если во всех точках некоторого интервала, содержащего точку ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-12.jpg)
Теорема.
Если во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет
производную , то для всякой точки, принадлежащей интервалу, остаточный член равен
где
Слайд 14
![Доказательство. Запишем остаточный член в виде Найдем такое, чтобы для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-13.jpg)
Доказательство.
Запишем остаточный член в виде
Найдем такое, чтобы для всякого ,
принадлежащего интервалу, выполнялось
Зафиксируем
Тогда
Слайд 15
![Докажем, что это выражение равно При из теоремы Лагранжа Для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-14.jpg)
Докажем, что это выражение равно
При из теоремы Лагранжа
Для
других построим вспомогательную функцию удовлетворяющую теореме Ролля. Пусть
При заменив его значением, получим
Найдем
Слайд 16
![Только подчеркнутые члены не сокращаются. Производная существует во всех точках](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-15.jpg)
Только подчеркнутые члены не сокращаются.
Производная существует во всех точках
интервала. Вынося общий множитель за скобки, получим
Подставим вместо значение при котором
Тогда т. е.
Т. к. - любая точка интервала, то теорема доказана.
Слайд 17
![Формула Тейлора для функции в точке При выводе формулы предполагалось,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-16.jpg)
Формула Тейлора для функции в точке
При выводе формулы предполагалось,
что имеет производные до -й, где какое-то число. Другие производные нас не интересовали.
Слайд 18
![Частные случаи 1) Это формула Лагранжа. 2) или Это линейная аппроксимация.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/312666/slide-17.jpg)
Частные случаи
1)
Это формула Лагранжа.
2)
или
Это
линейная аппроксимация.