Тройной интеграл Римана презентация

Риман родился в Брезеленце – деревеньке в окрестностях Данненберга в Королевстве Гановер (ныне – Федеративная республика Германии). Фридрих Бернхард Риман, его отец, был бедным лютеранским священником, принимавшим участие в Наполеоновских войнах. Его мать, Шарлотта Эбелль, умерла рано. Бернхард был вторым из шестерых детей в семье. С ранних лет мальчик демонстрировал потрясающие математические способности и невероятные успехи в счёте, однако ребёнком он был застенчивым и пережил немало нервных срывов. Он был патологически робким человеком и страдал от боязни перед публичными выступлениями.

В средней школе Риман старательно изучает Библию, однако его неизменно влечёт к математике. Учителей поражала его способность решать сложнейшие математические задачи, в чём, зачастую, он превосходит своих преподавателей.
В 1846 г., в возрасте 19 лет, Риман начинает изучать теологию и филологию, намереваясь стать священником, но его учитель Гаусс, потрясённый способностями юноши к математике, настоятельно советует ему оставить теологическую стезю и сосредоточить усилия на точных науках.

В 1854 г. состоялась его первая лекция, которая очертила область геометрии Римана, лежащей в основе общей теории относительности Эйнштейна. В 1857 г., в Гёттингенском университете предпринимаются попытки присвоить учёному особое профессорское звание. И, хотя попытки не оканчиваются успехом, они открывают перед Риманом перспективу стабильного заработка. В 1859 г., всё в том же Гёттингене, Римана повышают в должности до главы отделения математики, и в том же году его избирают членом-корреспондентом Берлинской академии наук. Новоиспечённый член-корреспондент представляет Академии свой доклад «Определение числа простых чисел, меньших данной величины», который станет ключевым в развитии теории чисел. Риман также является одним их первых, применивших систему измерений выше трёх- и четырёх мерных измерений для объяснения физической реальности

Инновационные труды Римана заложили основу современной математики и различных исследовательских областей, включая математический анализ и геометрию. Его работы нашли применение в теориях алгебраической геометрии, геометрии Римана и теории комплексного многообразия. Адольф Хурвиц и Феликс Кляйн доступно изложили теорию римановых поверхностей. Этот аспект математических знаний является основой топологии, и по сей день широко применяется в современной математической физике. Риман также совершил ряд поворотных открытий в теории «действительного анализа».

Он ввёл «интеграл Римана», найденный посредством «сумм Римана», и вывел теорию тригонометрических рядов, отличную от рядов Фурье – первого шага на пути к теории обобщённых функций, а также определил «дифферинтеграл Римана-Лиувилля».
Много сделал Риман и для развития современной аналитической теории чисел. Он ввёл «дзета-функцию Римана» и объяснил её значение для понимания распределения простых чисел. Он также выдвинул ряд предположений о свойствах дзета-функции, одними из которых являются знаменитые «гипотезы Римана». Его труды вдохновляли работы Чарльза Лютвиджа Доджсона, более известного под именем Льюис Кэррол, – математика, написавшего популярные книги «Алиса в Стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Определение тройного интеграла
Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана. Начнем с простейшего случая, когда область интегрирования U имеет вид параллелепипеда [a,b]×[c,d]×[p,q] (рисунок 1).

Пусть множество чисел {x0,x1,…,xm} разбивает отрезок [a,b] на малые интервалы, так что справедливо соотношениеa=x0 отрезка [c,d] вдоль оси Oy и [p,q] вдоль оси Oz:c=y0

Основные свойства тройного интеграла

Основные свойства тройного интеграла
Пусть функции f(x,y,z) и g(x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства: 1)∭U[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dV=∭Uf(x,y,z)dV+∭Ug(x,y,z)dV;
2)∭U[f(x,y,z)−g(x,y,z)]dV=∭Uf(x,y,z)dV−∭Ug(x,y,z)dV;
3)∭Ukf(x,y,z)dV=k∭Uf(x,y,z)dV, где k - константа;
4)Если f(x,y,z)≤g(x,y,z) в любой точке области U, то ∭Uf(x,y,z)dV≤∭Ug(x,y,z)dV;
5)Если область U является объединением двух непересекающихся областей U1 и U2, то
6)∭Uf(x,y,z)dV=∭U1f(x,y,z)dV+∭U2f(x,y,z)dV;
7) Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f(x,y,z) в области U.Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:
m⋅V≤∭Uf(x,y,z)dV≤M⋅V,
где V - объем области интегрирования U.
Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f(x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M0∈U, такая, что
∭Uf(x,y,z)dV=f(M0)⋅V,
где V - объем области U.

Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f(x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M0∈U, такая, что
∭Uf(x,y,z)dV=f(M0)⋅V,
где V - объем области U.

Оценить максимальное значение тройного интегралаI=∭Udxdydz√100−x2−y2−z2,где U представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом R=6.
Задача 2

Решение.
Уравнение шара имеет видx2+y2+z2≤36.Используя свойство 6, можно записатьI≤M⋅V,где объем шара V равенV=43πR3=43π⋅63=288π.Максимальное значение M подынтегральной функции равноM=1√100−36=18.

Отсюда получаем верхнюю оценку тройного интеграла: I≤18⋅288π=36π.
Ответ:

Вычислить тройной интеграл
,
где V - параллелепипед, ограниченный плоскостями x = − 1, x = + 1, y = 0, y = 1,z = 0, z = 2.
Решение. Пределы интегрирования для всех трёх определённых интегралов однозначно заданы уравнениями поверхностей, ограничивающих параллелепипед. Поэтому сразу сводим данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:
.

Вычисляем самый внутренний интеграл - по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем: .
Вычисляем интеграл "в серединке" - по переменной y. Получаем;
.

Теперь вычисляем самый внешний интеграл - по переменной x: