Уравнения. Виды уравнений. Способы решения уравнений (лекция 3) презентация

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.
Переменную, входящую в уравнение, иначе называют
неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.
Стандартных методов решения уравнений много, нестандартных — еще больше. Последние подходят для решения небольшого количества (часто вообще одного) типа уравнений.
Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Виды уравнений и способы их решения
1. Линейное уравнение
Линейным уравнением называется уравнение вида ax+b=0, в котором a и b — действительные числа.
– х + 5,18 = 11,58.

Шаги решения:
1.ax+b=0;
ax=−b
2. x=−b/a
Решение линейного уравнения в зависимости от параметра
1. Если a не является 0, у уравнения — один корень.
Например, если 2x−4=0, то x=2.
2. Если a=0, но b не равно 0, у уравнения нет корней.
Например, 0x=3 — нет такого значения x, при умножении которого на 0 можно получить 3.
3. Если a=0 и b=0, то корень уравнения — любое число.
Например, 0x=0 — умножив ноль на любое число, получим 0.

Пример 1. Решите уравнение – х + 5,18 = 11,58.
Решение:
– х + 5,18 = 11,58;
– х = – 5,18 + 11,58;
– х = 6,4;
х = – 6,4.
Ответ: – 6,4.
Пример 2. Решите уравнение 3 – 5(х + 1) = 6 – 4х.
Решение:
3 – 5(х + 1) = 6 – 4х;
3 – 5х – 5 = 6 – 4х;
– 5х + 4х = 5 – 3+6;
– х = 8;
х = – 8.
Ответ: – 8.

2. Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом
где коэффициенты а, б с - произвольные числа, причем а = 0, а х - неизвестное.
Выражение ах - bх - с называют квадратным трёхчленом.
а называют первым или старшим коэффициентом,
b - вторым, средним или коэффициентом,
с - свободным членом.
Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля: 6x2 - 3x+7 = 0

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
Не имеют корней;
Имеют ровно один корень:
Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого нужен дискриминант.

Пример 3. Решите уравнение 18 – х2 = 14.
Решение:
18 – х2 = 14 – неполное квадратное уравнение;
– х2 = 14 – 18;
– х2 = – 4; х2 =4; х = ± 2.
Ответ: ± 2.
Пример 4. Решите уравнение

Формулы Виета (Теорема Виета)— формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.
Дано квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример 5. Решите уравнение по теореме Виета
x2 + 8x + 15 = 0.
Решение:
x1 + x2 = -8;
x1 · x2 = 15.
Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:
-3 + -5 = -8;
-3 · -5 = 15.
Ответ: -3, -5.

3. Показательные уравнения
ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — ЭТО УРАВНЕНИЕ, В КОТОРОМ НЕИЗВЕСТНАЯ ВЕЛИЧИНА НАХОДИТСЯ В ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ.
AХ=B
ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕОБХОДИМО ОПИРАТЬСЯ НА СЛЕДУЮЩИЕ СВОЙСТВА И ПРАВИЛА:
1. ЛЮБОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, ВОЗВЕДЕННОЕ В СТЕПЕНЬ, РАВНУЮ ЕДИНИЦЕ, РАВНО САМОМУ СЕБЕ, ТО ЕСТЬ 91 = 9.
ЕСЛИ ЖЕ ВОЗВЕСТИ ЧИСЛО В СТЕПЕНЬ НОЛЬ, ТО РЕЗУЛЬТАТ ВСЕГДА БУДЕТ ОДИНАКОВЫМ, А ИМЕННО, РАВНЫМ ЕДИНИЦЕ: 90 = 1.
2. ЕСЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ВОЗВОДИТСЯ В ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ, ТО ЕГО МОЖНО ЗАМЕНИТЬ ДРОБЬЮ, ГДЕ ЧИСЛИТЕЛЬ – ЕДИНИЦА, А ЗНАМЕНАТЕЛЬ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, НО УЖЕ В ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ СТЕПЕНИ. МАТЕМАТИЧЕСКИ ПРАВИЛО ЗАПИСЫВАЕТСЯ В СЛЕДУЮЩЕМ ВИДЕ:

Методы решения:
Приведение к одному основанию.
Разложение левой части уравнения на множители (выносим степень с наименьшим показателем).
Замена переменной, приведение к квадратному (подстановка).
Деление левой и правой частей уравнения на степень (метод почленного деления).
Пример 6 . Решение показательного уравнения методом приведение к одному основанию:
Решение:
2 3х · 3 х =576
(2³) х · 3 х =576
8 х ·3 х =576
24 х =24²=>х=2

ПРИМЕР 7 . РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ:
6X + 6X+1 = 2X + 2X+1 + 2X+2.
РЕШЕНИЕ:
ВЫНЕСЕМ ЗА СКОБКИ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ 6X, А В ПРАВОЙ ЧАСТИ – 2X. ПОЛУЧИМ УРАВНЕНИЕ
6X(1+6) = 2X(1+2+4) ⬄ 6X = 2X.
ТАК КАК 2X >0 ПРИ ВСЕХ X, МОЖНО ОБЕ ЧАСТИ ЭТОГО УРАВНЕНИЯ РАЗДЕЛИТЬ НА 2X, НЕ ОПАСАЯСЬ ПРИ ЭТОМ ПОТЕРИ РЕШЕНИЙ. ПОЛУЧИМ 3X = 1⬄ X = 0.
ОТВЕТ: 0.

ПРИМЕР 7 . РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ, ПРИВЕДЕНИЕМ К КВАДРАТНОМУ:
РЕШЕНИЕ:
9Х – 4 · 3Х – 45=0
32Х– 4 ·3Х -45=0
3Х =T
T²-4T-45=0
T1+T2 =4 T1 =9
T1 *T2 =-45 T2 =-5
3Х =9
3Х =3²
ОТВЕТ: Х=2

Пример 7 . Решение показательного уравнения методом
деление левой и правой частей уравнения на степень:
Ответ: Х=1

4. Дробное уравнение
Дробные рациональные уравнения - это такой вид уравнения в которой левая и правая части рациональные выражения. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень. Любое рациональное уравнение сводится к алгебраическому
В общем виде дробно-рациональные уравнения решают по следующей схеме:
1) Все слагаемые переносим в одну сторону.
2) Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).
3) После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю».

Пример 8. Решите уравнение
Решение:
Домножим обе части равенства на 6. Получим уравнение, равносильное исходному.
2х + 3(х – 1) = 12;
2х + 3х – 3 =12;
5х = 12 + 3;
5х = 15;
х = 3.
Ответ х=3

6. Иррациональное уравнение
Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.
Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.
Иррациональные уравнения могут быть также решены путем возведения обеих частей уравнения в натуральную степень. При возведении уравнения в степень могут появится посторонние корни. Поэтому необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка.

При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы:
1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна);
2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
3) метод введения новых переменных.
Пример 8. Решите уравнение
Решение:
Область определения: х + 1 ≥ 0.
x2 – 4 = 0 или х + 1 = 0;
х1 = – 2 , х3 = – 1.
х2 = 2,
х1 = – 2 не принадлежит области определения.
Ответ: – 1; 2

7. Тригонометрическое уравнение
Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (sinx, cosx, tgx или ctgx), называется тригонометрическим уравнением.
Простейшими называются уравнения
sinx=a,
cosx=a,
tgx=a,
ctgx=a,
где x — угол, который нужно найти, a — любое число.
Запишем для каждого из них формулы корней.
1. Уравнение sinx=a.
При |a|>1 не имеет решений.
При |a|≤1 имеет бесконечное число решений.

2. Уравнение cosx=a
При |a|>1 — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При |a|≤1 имеет бесконечное множество решений.
3. Уравнение tgx=a
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.
4. Уравнение ctgx=actgx=a
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa

Основные методы решения тригонометрический уравнений
1. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям
Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.
Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1)n arcsin a + πn, n Є Z.
tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Шаг 3. Найти неизвестную переменную.

Пример 9. Решите уравнение
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Решение.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

2. Замена переменной
Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.
Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).
Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.
Шаг 4. Сделать обратную замену.
Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример 10. Решите уравнение
2cos2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Решение.
1) 2(1 – sin2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.
3) 2t2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.

3. Метод понижения порядка уравнения
4. Однородные уравнения
5. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул
и др.
8. Логарифмические уравнения
Уравнения, содержащие в том или ином виде логарифмы от некоторого выражения, зависящего от x, называются логарифмическими.
log2(x)=log2(5)
Логарифмом называют такой показатель степени, в которую необходимо возвести основание логарифма для получения числа.

Основные методы решения логарифмических уравнений
В зависимости от вида уравнения с логарифмом подбирается способ его решения. Рассмотрим основные методики, благодаря которым значительно упрощается поиск корней логарифмического уравнения.
Логарифмические уравнения в алгебре бывают разных видов. Основными из них являются:

Пример 11. Решите уравнение
log3(2x+5)=log3(11)
Решение:
Имеем два логарифма с одинаковым основанием 3
Избавляемся от логарифмов, приравнивая аргументы:
2x+5=11
2x=6
x=3.