Вычислительная математика. Лекция 4. Аппроксимация функции презентация

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Задача аппроксимации состоит в том, чтобы по
значениям функции
в нескольких точках
отрезка восстановить значения в остальных
точках этого отрезка.
Если решаем задачу аппроксимации функции
такой способ приближения функции называется
для всех значений
то
на отрезке
интерполяцией.
Если решаем задачу за пределами отрезка
то это задача экстраполяции.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Задача интерполяции
Пусть функция f(x) задана таблицей своих значений xi, yi: на интервале [a; b]:
Задача интерполяции - найти функцию F(x), принимающую в точках xi те же значения yi
точки xi – узлы интерполяции
условие F(x)= yi – условие интерполяции

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Через заданные точки можно провести бесконечно много кривых, для каждой из которых выполнены все условия интерполяции;
Для практики важен случай аппроксимации
функции многочленами:

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Интерполяционный полином Лагранжа
На интервале
строится полином степени
, где
Полином Лагранжа имеет малую погрешность при
небольших значениях
При больших
погрешность начинает расти.
Окончательно :

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Пример.
Для функции, имеющей аналитическое выражение
задана интерполяционная таблица:
а) Составить интерполяционный многочлен
второго порядка.
б) Вычислить значение

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Решение
а)
б)

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Интерполяционная формула Ньютона
- разделенные разности, вычисляемые по формулам:
где

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Пример
В таблице приведены данные для
Вычислим с помощью полинома Ньютона
.
Сначала составляем таблицу разделенных
Решение
разностей :

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Далее вычисляем значения полинома Ньютона, используя
используя подчеркнутые разделенные разности.
Точное значение

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Интерполирование в случае
равноотстоящих узлов
В случае равноотстоящих узлов интерполяции
используют первую и вторую интерполяционные
формулы Ньютона.
Конечными разностями функции
называются разности вида:
— конечные разности первого порядка,
— конечные разности второго порядка,
— конечные разности
-го порядка.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Пример таблицы конечных разностей для
.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Первая интерполяционная формула Ньютона
где
В формуле используется верхняя горизонтальная строка
таблицы разностей.
Первая формула Ньютона используется для
интерполирования в точках, близких к началу таблицы.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
При
и
получаем частные случаи:
линейная интерполяция
квадратичная интерполяция

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Пример
Используя таблицу значений функции
формуле квадратичной интерполяции вычислить
, по
Решение. Вычисляем разности до второго порядка. Для
находим
и вычисляем
Точное значение
равно

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Вторая интерполяционная формула Ньютона
где
.
В формуле используется нижняя наклонная строка
таблицы разностей.
Формула используется для интерполирования в точках,
близких к концу таблицы.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Использование интерполяционных
многочленов для
численного дифференцирования
Продифференцируем
Заметим, что
(
)
Будем рассматривать полином 4-го порядка.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
На практике для вычисления первой производной
обычно используют полином 3-го порядка, при
этом за начальный узел сетки берут ближайший
слева от точки интерполирования или
дифференцирования. Иными словами, если точка
интерполирования
то в качестве
берут

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Дифференцируя
второй производной:
так как
,
, получим формулу для

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Пример
Функция
задана таблично:
Методом численного дифференцирования найти

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Решение. Составим таблицу конечных разностей:
Шаг этой таблицы
Согласно формуле
имеем:

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Формулы приближенного дифференцирования
для определения производных
в узлах интерполяции

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Пример
Функция
задана таблично:
Методом численного дифференцирования найти
первые две производные этой функции в точке

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Решение. Составим таблицу конечных разностей:
Шаг этой таблицы
Согласно формуле
;
Вычислим вторую производную в узле

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Подстановка в интеграл
вместо функции
ее интерполяционного полинома той или
иной степени
приводит к семейству квадратурных
формул, называемых формулами Ньютона-Котеса.
Для того, чтобы использовать полином Ньютона
вместо
, нужно изменить границы
интегрирования
(значению
соответствует
значение
, а
- значение
) и учесть,
что

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Пусть
, т.е. имеется всего две точки
и
, в которых известны значения функции
и
. Этим точкам
соответствуют значения 0 и 1 переменной
Следовательно,
- формула трапеций

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Сплайном называют кусочно-полиномиальную
используют линейные, параболические и
вместе со
своими несколькими производными. На практике
кубические сплайны.
Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией
является, во-первых, их сходимость и, во-вторых,
устойчивость процесса вычислений.
ПРИБЛИЖЕНИЕ СПЛАЙНАМИ
непрерывную на всем отрезке
функцию, склеенную из различных многочленов,

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Линейные сплайны
Линейный сплайн представляет собой ломаную
линию.
Пусть интерполируемая функция задана
своими значениями
в узлах
,
. Для каждого интервала
функция
заменяется линейной

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Коэффициенты сплайна
находят из следующих
условий:
1) в узлах сетки значения сплайна совпадают со
значениями функции
, т.е.
2) узлах сетки сплайн должен быть непрерывным:
Из первого условия находим:
из второго условия получим:
;

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Параболические сплайны
На каждом интервале
функция
интерполируется квадратичной функцией вида
Здесь мы имеем уже
коэффициентов
определяемых из условий:
1) в узлах сетки значения сплайна совпадают со
значениями интерполируемой функции
;
2) в узлах сетки сплайн должен быть непрерывен;

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
3) в узлах сетки первая производная должна быть
непрерывна, т.е.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Из первого условия получаем
Из третьего условия получаем
Отсюда

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Если известно значение
, то коэффициенты
Если известно, что
, то
В этих формулах
надо задать - либо
Для того, чтобы вычислить коэффициенты
, либо
, где
значения первой производной функции
в точках
и
.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
Кубические сплайны
Построим на
функцию
удовлетворяющую следующим условиям:
а) на каждом отрезке
функция
является многочленом третьей степени;
б) функция
, а также ее первая и вторая
производные непрерывны на
;
в)
.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
На каждом интервале функция описывается с.о.:
где
— коэффициенты, подлежащие
Поясним смысл введенных коэффициентов.
Имеем
поэтому
определению.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
4