Слайд 21. ПРОСРАНСТВО ПОДМНОЖЕСТВ
1.3. Алгебраические линейные комбинации подмножеств
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Слайд 31.3. Алгебраические линейные комбинации подмножеств
Пусть
Множество
В частности, если
то множество
Определение 15.
Слайд 4Имеет место равенство
Теорема 1.
Доказано, что
Пусть
Тогда
Доказательство.
Слайд 5Тогда
Тогда возможно представление
Обозначим
Докажем обратное вложение.
то
Тогда
Слайд 6Заметим, что
Таким образом,
и равенство (1)
доказано.
Имеет место равенство
Теорема 2.
Слайд 7Тогда
Доказательство.
то полагаем
Теорема доказана.
Из теорем 1,2 следует,
Слайд 8Упражнение 1.
Пусть
Доказать, что
Решение.
Слайд 9Тогда
Имеет место неравенство
Слайд 10Аналогично устанавливается, что
Тогда
доказано.
Установим обратное вложение.
Слайд 11Сделаем представление
Обозначим
Очевидно, что
Таким образом,
Слайд 12снова имеет место.
Из (2) и (3) следует
Слайд 13Множество
Определение 16.
Множество
Упражнение 2.
Доказать равенство
Решение.
Слайд 14Обратно, пусть
Упражнение 3.
Пусть
Решение.