Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 9 презентация

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
2.8. Выпуклые конусы.
2.9. Выпуклые конусы и частичная упорядоченность.
2.10. Многокритериальная оптимизация.

2.8. Выпуклые конусы.
Выпуклый конус
Определение 13.
то конус называется выпуклым,
если открыто – открытым.
2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Пример 10.
Множества
являются выпуклыми конусами,

Пример 11.
Приведем некоторые свойства выпуклых конусов.
Решение.

Теорема 19.
Доказательство.
и
Теорема доказана.
С другой стороны по определению конуса имеем

Приведем важный пример конуса.
Упражнение 1.
(конусная оболочка) является конусом.
Решение.
Теорема 20.
Доказательство.
Тогда

Тогда
выводим
Теорема доказана.

2.9. Выпуклые конусы и частичная упорядоченность.
можно ввести частичный порядок его элементов,
Определение 14.
Заметим, что если
то
Перечислим и докажем ряд свойств введенного отношения,
Когда ясно, о каком конусе идет речь,

то
Справедливы включения
В силу теоремы 18 имеем
Из включений
в силу теоремы 18 выводим
Если
Переходя в нем
1.
2.
4.
справедливо еще одно свойство

Упражнение.
Решение.

2.10. Многокритериальная оптимизация.
Рассмотрим задачу векторной оптимизации
введем частичную упорядоченность.
Будем говорить, что точка
меньше точки

Упражнение 1.
Решение.
Пусть
Тогда

Определение 15.
Полагаем
Множество оптимальных по Парето точек обычно содержит более одной точки.

Теорема 21.
Доказательство.
Тогда
Последнее неравенство противоречит (1).
Теорема доказана.

Упражнение 2.
Найти все точки Парето в задачи векторной оптимизации