2-каз-МА-ВТПОко-1 презентация

Жоспар:
Тізбек, анықтамасы, берілу тәсілдері.
Тізбектің шегі.
Функцияның нүктедегі шегі.
Шектер туралы негізгі теоремалар.

Тізбек, анықтамасы

Тізбек, анықтамасы

Тізбек, анықтамасы
Бұл мысалдардағы 1), 2) және 4) тізбектер шенелген, ал 3), 5) және 6) тізбектер шенелмеген. Бірақ 3-мысалдағы тізбек, төменнен «0» санымен, ал 5-мысалдағы тізбек, төменнен «2» санымен шенелген; 6-мысалдағы тізбек төменнен де, жоғарыдан да шенелмеген. Енді тізбектің шегі туралы ұғымды қарастырайық. Нөмірлері өскен сайын 1-тізбектің мүшелері 0 санына, ал 4- тізбектің мүшелері 1 санына «жақындай» түсетінін байқауға болады. Бұл тізбектердің мүшелерін екі топқа бөлуге болады: 0 санының (1санының) кез келген маңайында 1-тізбектің (4-тізбектің) ақырсыз элементтері бар да, ал сыртында қалған элементтері бар болса, олардың саны ақырлы ғана.

Тізбек, анықтамасы

Тізбек, анықтамасы, берілу тәсілдері
Шексіз сандық тізбек деп барлық натурал сандар 1, 2, ..., n, … жиынында анықталған an=f(n) функциясы аталады. Тізбекті деп белгілейді.
Тізбекті берудің бірнеше тәсілі бар:
аналитикалық (формуламен);
кестелік;
графиктік;
рекурренттік формуламен;
сөзбен.

Тізбектің шегі
а саны сандық тізбегінің шегі деп аталады, егер кез келген саны үшін ε-нен тәуелді N=N(ε) нөмірі бар болып, барлық n>N үшін теңсіздігі орындалса. Бұл
деп белгіленеді.

Шегі бар тізбектерге арифметикалық амалдар
Теорема. Егер және шектері бар болса, онда , , ( ) шектері де бар, сонымен бipre келесі теңдіктер орындалады:
; ;
; .

Тізбектің шегі
n →∞ кездегі тізбегінің шегі е әріпімен белгіленеді. Яғни , е≈2,71828182... Негізі е болатын логарифм натурал логарифм деп аталады.

Нақты шегі бар тізбектердің қасиеттері

6-теореманың дәлелдеуі

Тізбектің жинақталуының Коши шарты

Монотонды тізбектер. e саны

Монотонды тізбектер. e саны
Келесі теорема анализде жиі қолданылады.

Монотонды тізбектер. e саны

Монотонды тізбектер. e саны

Монотонды тізбектер. e саны

Монотонды тізбектер. e саны

Тізбектің жинақталуының Коши критерийі

Тізбектің жинақталуының Коши критерийі

Функцияның нүктедегі шегі
Егер кез келген саны үшін барлық х≠а үшін
шартын қанағаттандыратын саны бар болып, теңсіздігі орындалса, онда А саны f(x) функциясының х а-ға ұмтылғандағы шегі деп аталады және деп белгіленеді.
Осы анықтама функцияның x=a нүктедегі шегінің анықтамасы дейді.
А саны у=f(х) функциясының ұмтылғандағы шегі деп аталады, егер кез келген ε оң саны үшін δ(ε) оң саны табылып, 0<│х - а│< δ(ε) болғанда
теңсіздігі орындалса.

Шектер туралы негізгі теоремалар
Тұрақты санның шегі тұрақтының өзіне тең.
шeгi бар функциясының қасиеттерін қарастырайық (мұндағы, a - нақты сан немесе (∞), (+∞), ( -∞) шексіздіктерінің бipi).
Анықтама: b саны f (х) функциясының х шексіздікке ұмтылғандағы шегі деп аталады, егер аргумент мәндерінің шексіз үлкен тізбегі үшін функция мәндерінің тізбегі b санына жинақталса
1 – теорема. шегі бар болса, ол шек жалғыз.
(у=f(х) функциясы а нүктесінде тек бірғана шектік мән қабылдай алады).

Шектер туралы негізгі теоремалар
2 - теорема. Егер және A - нақты сан болса, онда функциясы a- нүктесінің қандай да бip маңайында шенелген, яғни кез келген x:
x - тер үшін теңсіздігі орындалатындай
саны табылады (шенелген жиын ұғымын қараңыз).
3 - теорема. Егер және қандай да бip аймағындағы x- тер үшін
теңсіздіктері орындалса, онда .
Анықтама. α(х) функциясы ұмтылғанда шексіз аз функция деп аталады, егер болса.

4-теорема
ұмтылғанда шегі бар f(х), g(х) функциялары үшін келесі формулалар орындалады:
1) ;
2) ;
3) ;
4)

Шектер туралы негізгі теоремалар
5-теорема (шектерге айнымалы енгізу).Егер ,
шектері бар және болса, онда
шегі бар және .
6-теорема (шектің бар болуының Коши бeлrici). шегінің нақты мәні болуы үшін берілген әрбір саны бойынша және теңсіздіктерін қанағаттандыратын кез келген сандары үшін
теңсіздік орындалатындай санының бар болуы қажетті және жеткілікті.

Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар
Осы пунктегі қарастырылатын функциялар а- нүктесінің қандай да бip маңайында анықталған (оның а нүктесінің өзінде анықталуы шарт емес).
Анықтама. Егер , онда функциясы ұмтылғанда шексіз аз (ш.а.) деп аталады.
1-теорема. теңдігі орындалуы үшін
( - ға ұмтылғанда ш.а.) теңдігі орындалуы қажетті және жеткілікті. Сонымен,

1-теореманың дәлелдеуі

Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар
2-теорема. Егер , шексіз аз болса, онда олардың қосындысымен көбейтіндісі шексіз аз болады.
3-теорема. Шексіз аз бен шенелген функциялардың көбейтіндісі шексіз аз болады.

Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар
Анықтама. Егер әpбip саны арқылы, теңсіздіктерін қанағаттандыратын x- тер үшін теңсіздік орындалатындай саны бар болса, онда f(x) функциясы шексіз үлкен функция немесе қысқаша шексіз үлкен (ш.ү.) деп аталады да, немесе символдарының бірімен белгіленеді. Егер және a- нүктесінің қандай бір маңайында болса, онда
деп жазады.

Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар
4-теорема. Егер a- нүктесінің қандай да бip маңайында және
болса, онда .
5-теорема. Егер кез келген нүктелерінде
болса, онда .
6 - теорема. ұмтылғанда бірдей таңбалы шексіз үлкен функциялардың қосындысы (осы таңбамен алынған) шексіз үлкен болады, яғни ,
немесе , болса, онда
.