20231210_ekstremumy презентация

Точки из области определения функции, в которых:
f′ (x) =0 или не существует,
называются критическими точками этой функции.
Только они могут быть точками экстремума функции. (рис. 1 и 2).
f′ (x1) =0
f′ (x2) =0

Точки из области определения функции, в которых:
f′ (x) =0 называются стационарными точками этой функции
Экстремумы
Не являются экстремумами

y
x
y
x
a
a
b
b

Пусть xо точка из области определения функции f(x) и f′ (xо) = 0, если производная функции меняет свой знак с «+» на «-» в точке xо или наоборот, то эта точка
является Экстремумом.
Х1
max
Х2
min
Х0 - точка максимума (max) функции, если существует такая окрестность точки х0 , что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство
f(x) ˂ f(x0 ).
Х0 - точка минимума(min)
функции, если существует такая окрестность точки х0 , что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство
f(x) ˃ f(x0 ).

Алгоритм поиска точек экстремума функции:
найти производную функции;
решить уравнение f‘ (x) = 0, найти критические точки
с помощью метода интервалов определить знаки производной в окрестностях
критических точек;
используя достаточное условие существования экстремума, найти точки
максимума и минимума

Точка перегиба
Пример №1. Дана функция y = 3x + 2
Решение.
yˊ = (3x + 2)´ = 3 –критических точек нет у = kх+b -прямая
y
x

- 1
0
1
-
+
-
+
fˊ(-2) =
4 · (-2) (-2 -1) (-2+1) = - 24 < 0
fˊ(2) =
4 · (2) (2 -1) (2+1)
> 0
- 1
1
0
min
max
min