Дифференциальные уравнения-4 презентация

Содержание

Слайд 2

5. Линейные ДУ I порядка.

Общий вид линейного ДУ I порядка:
А(х), В(х)

5. Линейные ДУ I порядка. Общий вид линейного ДУ I порядка: А(х), В(х)
и С(х)- заданные функции, причем

Слайд 4

Существует несколько (по существу равносильных) приёмов решения линейного ДУ.

Рассмотрим метод Иоганна

Существует несколько (по существу равносильных) приёмов решения линейного ДУ. Рассмотрим метод Иоганна Бернулли
Бернулли (Bernoulli)- швейцарский математик 1667-1748.

Слайд 5

Метод И.Бернулли основан на простом замечании, что любую величину h (переменную

Метод И.Бернулли основан на простом замечании, что любую величину h (переменную или постоянную)
или постоянную) можно представить в форме произведения двух сомножителей: h=uv [u=u(x), v=v(x)], причем один из них можно выбрать по своему желанию, но отличным от нуля.

Слайд 6

Например:

можем взять

или

или

или

соответственно этому придется взять

Например: можем взять или или или соответственно этому придется взять

Слайд 7

Пример 1. Найти общее решение ДУ:

Это линейное ДУ вида

Представим (неизвестное

Пример 1. Найти общее решение ДУ: Это линейное ДУ вида Представим (неизвестное нам!)
нам!) общее решение ДУ в виде:

Слайд 8

Найдём производную:

Подставим её в уравнение:

Используем своё право выбора u, взяв его

Найдём производную: Подставим её в уравнение: Используем своё право выбора u, взяв его
таким, чтобы выражение в скобках было равно нулю.

(*)

Слайд 10

Поскольку в качестве u нам надо взять какое-нибудь одно из решений

Поскольку в качестве u нам надо взять какое-нибудь одно из решений ДУ, то положим С=0.
ДУ, то положим С=0.

Слайд 11

Подставляя в уравнение (*) и учитывая, что
, получим:

Подставляя в уравнение (*) и учитывая, что , получим:

Слайд 12

Общее решение ДУ:

или

Ответ. Общее решение ДУ:

Общее решение ДУ: или Ответ. Общее решение ДУ:

Слайд 13

Изложим приём в общем виде:

Представим (неизвестное нам!) общее решение ДУ

Изложим приём в общем виде: Представим (неизвестное нам!) общее решение ДУ в виде:
в виде:

Слайд 14

Найдём производную:

Подставим её в уравнение:

Используем своё право выбора u, взяв его

Найдём производную: Подставим её в уравнение: Используем своё право выбора u, взяв его
таким, чтобы выражение в скобках было равно нулю.

(**)

Слайд 16

Поскольку в качестве u нам надо взять какое-нибудь одно из решений

Поскольку в качестве u нам надо взять какое-нибудь одно из решений ДУ, то положим С=0.
ДУ, то положим С=0.

Слайд 17

Подставляя в уравнение (**) и учитывая,
что , получим:

Подставляя в уравнение (**) и учитывая, что , получим:

Слайд 18

Общее решение ДУ:

Ответ. Общее решение ДУ:

Общее решение ДУ: Ответ. Общее решение ДУ:

Слайд 19

Пример 2. Найти общее решение ДУ:

Решение:

Пример 2. Найти общее решение ДУ: Решение:

Слайд 21

3) Общее решение ДУ:

Ответ. Общее решение ДУ:

3) Общее решение ДУ: Ответ. Общее решение ДУ:

Слайд 22

Пример 3. Найти общее решение ДУ:

Нужно привести к виду

Решение:

Пример 3. Найти общее решение ДУ: Нужно привести к виду Решение:

Слайд 25

3) Общее решение ДУ:

Ответ. Общее решение ДУ:

3) Общее решение ДУ: Ответ. Общее решение ДУ:

Слайд 26

Пример 4. Решить задачу Коши: , если y(1)=

Решение:

Пример 4. Решить задачу Коши: , если y(1)= Решение:

Слайд 29

3) Общее решение ДУ:

3) Общее решение ДУ:

Слайд 30

Найдем частное решение ДУ:

Подставим начальные условия в общее решение ДУ и

Найдем частное решение ДУ: Подставим начальные условия в общее решение ДУ и вычислим
вычислим С:

- общее решение

или

частное решение

Слайд 31

Пример 5. Найти общее решение ДУ:

Нужно привести к виду

Решение:

Иногда нужно решать

Пример 5. Найти общее решение ДУ: Нужно привести к виду Решение: Иногда нужно
линейные ДУ относительно х: у принимаем за независимую переменную, а х- за искомую функцию.
Имя файла: Дифференциальные-уравнения-4.pptx
Количество просмотров: 62
Количество скачиваний: 0