Слайд 2
Дифференциальные уравнения
Определение 1.
Линейное дифференциальное уравнение
n-го порядка имеет вид
где
Слайд 3
Дифференциальные уравнения
Определение 1.
Линейное дифференциальное уравнение
n-го порядка имеет вид
где
Определение 2.
Линейное дифференциальное уравнение
называется однородным, если
и называется неоднородным, если
Слайд 4
Дифференциальные уравнения
Определение 3.
Линейным дифференциальным оператором n-го порядка называется выражение:
ЛОДУ:
ЛНДУ:
Слайд 5
Дифференциальные уравнения
Определение 4.
Общим решением ЛДУ n-го порядка называется
функция ,
зависящая
от х и n произвольных постоянных,
если любое решение может быть получено из нее при некоторых конкретных значениях постоянных.
Решение, полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных, называется частным решением.
Слайд 6
Дифференциальные уравнения
Задача Коши.
Найти решение ЛДУ n-го порядка
удовлетворяющее начальным условиям
Теорема ( !).
Пусть
в интервале коэффициенты
и правая часть ЛДУ n-го порядка
– непрерывные функции.
Тогда при любом найдется
некоторая окрестность
такая, что в этой окрестности существует
единственное решение задачи Коши.
Слайд 7
Дифференциальные уравнения
Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.
Определение 1.
Система функций
называется линейно
зависимой в интервале
если найдутся такие коэффициенты
что среди них есть хотя бы один, отличный от нуля, а линейная комбинация функций
тождественно равна нулю в интервале
Слайд 8
Дифференциальные уравнения
Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.
Частный случай.
Система двух функций
будет
линейно зависимой в интервале
тогда и только тогда, когда их отношение
Доказательство. Необходимость.
- линейно зависимы
Достаточность.
Слайд 9
Дифференциальные уравнения
Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.
Определение 2.
Система функций
называется
линейно независимой в интервале
если линейная комбинация этих функций
тождественно равна нулю при всех
лишь в том случае, когда все коэффициенты
равны нулю.
Слайд 10
Дифференциальные уравнения
Примеры.
1. Система функций
линейно независимая в любом интервале
Рассмотрим линейную комбинацию этих
функций и предположим, что она тождественно равна нулю:
Тогда и производные от нее должны равняться нулю:
Отсюда следует:
Слайд 11
Дифференциальные уравнения
Примеры.
2. Система функций
линейно независимая в любом интервале :
В общем случае
система функций
линейно независимая при всех х .
Слайд 12
Дифференциальные уравнения
Примеры.
3. Система функций
линейно зависимая в любом интервале :
Положим
и составим
линейную комбинацию функций
с этими коэффициентами
Слайд 13
Дифференциальные уравнения
Определитель Вронского.
Пусть функции
имеют в интервале непрерывные
производные до порядка k-1
включительно.
Определение.
Определителем Вронского системы функций
называется определитель
Слайд 14
Дифференциальные уравнения
Определитель Вронского.
Теорема (необходимое условие линейной зависимости).
Пусть система функций
линейно
зависима в .
Тогда при всех
Доказательство ( при к=2).
1.
2.
Слайд 15
Дифференциальные уравнения
Пример.
Рассмотрим две функции
На отрезке они линейно независимые:
0
0
х
х
y
y
1
-1
-1
1