Слайд 2
![Предисловие Рассматривается движение вязкой жидкости, плотность которой остается неизменной. В](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-1.jpg)
Предисловие
Рассматривается движение вязкой жидкости, плотность которой остается неизменной.
В качестве исходных
используем уравнение Навье-Стокса и уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости.
Слайд 3
![Задание Вывести уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости – уравнение Стокса.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-2.jpg)
Задание
Вывести уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости – уравнение Стокса.
Рассмотреть ламинарное изотермическое
течение несжимаемой жидкости по горизонтальной трубе постоянного поперечного сечения.
Слайд 4
![Словарь терминов Несжимаемой называют жидкость, плотность которой не меняется. Изотермическим называют поток, температура которого остается постоянной.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-3.jpg)
Словарь терминов
Несжимаемой называют жидкость, плотность которой не меняется.
Изотермическим называют поток, температура
которого остается постоянной.
Слайд 5
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-4.jpg)
Слайд 6
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-5.jpg)
Слайд 7
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-6.jpg)
Слайд 8
![Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости Для вывода уравнения используем: уравнение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-7.jpg)
Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости
Для вывода уравнения используем:
уравнение неразрывности для
несжимаемой жидкости
и постоянство вязкости жидкости при изотермическом ее движении
Слайд 9
![Уравнение Навье-Стокса при этих условиях упрощается где – коэффициент кинематической вязкости.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-8.jpg)
Уравнение Навье-Стокса при этих условиях
упрощается
где – коэффициент кинематической вязкости.
Слайд 10
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-9.jpg)
Слайд 11
![и подставив ее в предыдущее выражение, получим уравнение Стокса – уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-10.jpg)
и подставив ее в предыдущее выражение, получим уравнение Стокса – уравнение
движения вязкой несжимаемой жидкости
Слайд 12
![Непосредственными наблюдениями и многочисленными опытами установлено существование двух основных режимов движения жидкостей – ламинарного и турбулентного.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-11.jpg)
Непосредственными наблюдениями и многочисленными опытами установлено существование двух основных режимов движения
жидкостей – ламинарного и турбулентного.
Слайд 13
![Словарь терминов Ламинарным называют строго упорядоченное, слоистое (без перемешивания) течение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-12.jpg)
Словарь терминов
Ламинарным называют строго упорядоченное, слоистое (без перемешивания) течение жидкости. Единственной
причиной потерь энергии при таком движении в горизонтальных трубах постоянного поперечного сечения является трение, обусловленное вязкостью жидкости.
Слайд 14
![Словарь терминов При турбулентном режиме отдельные частицы жидкости движутся по](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-13.jpg)
Словарь терминов
При турбулентном режиме отдельные частицы жидкости движутся по произвольным сложным
траекториям, в результате чего струйки перемешиваются и жидкость течет в виде беспорядочной массы.
Слайд 15
![Рис. Режимы течения жидкостей а) – ламинарный режим; б) –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-14.jpg)
Рис. Режимы течения жидкостей
а) – ламинарный режим; б) – переход
к турбулентному потоку;
в) и г) – различные формы развитого турбулентного течения
Слайд 16
![Ламинарное изотермическое течение несжимаемой жидкости в горизонтальной трубе постоянного поперечного сечения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-15.jpg)
Ламинарное изотермическое течение несжимаемой жидкости в горизонтальной трубе постоянного поперечного сечения
Слайд 17
![Предположим, что установившееся ламинарное движение жидкости происходит в горизонтальной, прямолинейной,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-16.jpg)
Предположим, что установившееся ламинарное движение жидкости происходит в горизонтальной, прямолинейной, круглой
цилиндрической трубе с внутренним диаметром , что соответствует одномерному течению. На некотором расстоянии от входа в нее, где поток уже сформировался (стабилизировался), выделим отрезок длиной l между сечениями 1-1 и 2-2.
Слайд 18
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-17.jpg)
Слайд 19
![Пусть в сечении 1-1 давление равно p1, а в сечении](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-18.jpg)
Пусть в сечении 1-1 давление равно p1, а в сечении 2-2
– p2 т.е. на длине l давление в потоке изменилось на величину
за счет трения жидкости о стенки канала.
Применим к потоку жидкости уравнение Стокса, которое в рассматриваемом случае одномерного движения в проекции на ось x примет вид
Слайд 20
![Выполним преобразование этого уравнения: исключим выражение, стоящее в левой части](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-19.jpg)
Выполним преобразование этого уравнения:
исключим выражение, стоящее в левой части уравнения, поскольку
в установившемся движении скорость не меняется с течением времени, следовательно
удалим первое слагаемое в правой части уравнения, так как проекция силы тяжести на горизонтальную ось x равна нулю;
Слайд 21
![в одномерном движении отсутствуют проекции вектора скорости на оси координат,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-20.jpg)
в одномерном движении отсутствуют проекции вектора скорости на оси координат, перпендикулярные
направлению движения,
и
Поэтому и их производные равны нулю:
и .
Следствием этого для несжимаемой жидкости будет
Слайд 22
![Проекция уравнения Стокса на ось x примет следующий вид Изменение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-21.jpg)
Проекция уравнения Стокса на ось x примет следующий вид
Изменение давления
вдоль трубы пропорционально длине трубы
поэтому получим
Слайд 23
![Решим полученное дифференциальное уравнение при условии, что на границе области](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-22.jpg)
Решим полученное дифференциальное уравнение при условии, что на границе области течения
(на стенке трубы) скорость частиц жидкости равна нулю
Граница области течения описывается уравнением окружности
Слайд 24
![Решением дифференциального уравнения является функция Она удовлетворяет граничному условию, а при превращает дифференциальное уравнение в тождество.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-23.jpg)
Решением дифференциального уравнения является функция
Она удовлетворяет граничному условию, а при
превращает
дифференциальное уравнение в тождество.
Слайд 25
![Это становится очевидным после подстановки данной функции в дифференциальное уравнение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-24.jpg)
Это становится очевидным после подстановки данной функции в дифференциальное уравнение
Слайд 26
![Перейдем от декартовой системы координат к цилиндрической, в которой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-25.jpg)
Перейдем от декартовой системы координат к цилиндрической, в которой
Слайд 27
![Уравнение одномерного движения несжимаемой жидкости в этой системе координат описывается](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-26.jpg)
Уравнение одномерного движения несжимаемой жидкости в этой системе координат
описывается квадратичной зависимостью
скорости частицы жидкости от радиуса.
Слайд 28
![Словарь терминов Профилем скорости называют распределение векторов скорости по нормальному](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-27.jpg)
Словарь терминов
Профилем скорости называют распределение векторов скорости по нормальному сечению потока.
Ламинарному
течению соответствует параболический профиль скорости.
Слайд 29
![Максимальная скорость имеет место в центре сечения трубопровода (при r=0)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-28.jpg)
Максимальная скорость имеет место в центре сечения трубопровода (при r=0)
Применим полученный
закон распределения скоростей для расчета объемного расхода жидкости. Элементарный расход через бесконечно малую площадку dS равен
Слайд 30
![Бесконечно малую площадку представим в виде кольца радиусом r и толщиной dr, т.е.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-29.jpg)
Бесконечно малую площадку представим в виде кольца радиусом r и толщиной
dr, т.е.
Слайд 31
![Тогда после интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r=0 до r=R0, получим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-30.jpg)
Тогда после интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r=0
до r=R0, получим
Слайд 32
![Среднюю по сечению скорость находим делением расхода на площадь поперечного](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-31.jpg)
Среднюю по сечению скорость находим делением расхода на площадь поперечного сечения
канала
Ее значение в два раза меньше найденной ранее максимальной скорости на оси трубы.
Слайд 33
![Преобразовав полученное выражение, найдем закон сопротивления, т.е. зависимость потери давления](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-32.jpg)
Преобразовав полученное выражение, найдем закон сопротивления, т.е. зависимость потери давления на
трение от расхода, либо средней скорости жидкости, ее вязкости и геометрических размеров канала
Слайд 34
![Из уравнения следует, что потери давления при ламинарном течении жидкости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-33.jpg)
Из уравнения следует, что потери давления при ламинарном течении жидкости по
прямолинейному каналу цилиндрической формы прямо пропорциональны его длине, расходу и вязкости среды в первой степени и обратно пропорциональны радиусу (диаметру) в четвертой степени. В литературе этот закон носит имя Пуазейля.
Слайд 35
![Выразив радиус трубы через диаметр, и выполнив ряд эквивалентных преобразований,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-34.jpg)
Выразив радиус трубы через диаметр, и выполнив ряд эквивалентных преобразований, данный
закон можно представить в виде
где – критерий Рейнольдса.
Слайд 36
![Словарь терминов В технических расчетах принято потери давления на трение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-35.jpg)
Словарь терминов
В технических расчетах принято потери давления на трение рассчитывать по
формуле Дарси-Вейсбаха
где l – коэффициент потерь на трение.
Слайд 37
![Из сравнения двух последних выражений следует, что при ламинарном режиме](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/35011/slide-36.jpg)
Из сравнения двух последних выражений следует, что при ламинарном режиме течения
коэффициент потерь равен
Изложенные результаты хорошо подтверждаются опытом