Интерполирование и численное дифференцирование функций презентация

Содержание

Слайд 2

Приближение функций

Тогда
f (x) = P(x) + R(x),
где R(x) – остаточный член.
Применение: возможность вычислить

f (x) ≈ P(x) при x ≠ xi, если:
аналитический вид f (x) неизвестен;
функция f (x) имеет сложный вид.

Приближение функций Тогда f (x) = P(x) + R(x), где R(x) – остаточный

Слайд 3

Приближение функций

Классификация:
Интерполяция. Критерий для определения ci выглядит как P(xi) = yi (p ≥

n, обычно p = n);
Аппроксимация (p < n). Критерий для определения ci выглядит как

Приближение функций Классификация: Интерполяция. Критерий для определения ci выглядит как P(xi) = yi

Слайд 4

Приближение функций

Классификация:
Экстраполяция – возможность вычислить f (x) ≈ P(x) при x∉[a, b].

Приближение функций Классификация: Экстраполяция – возможность вычислить f (x) ≈ P(x) при x∉[a, b].

Слайд 5

Приближение функций

Интерполяция:

Приближение функций Интерполяция:

Слайд 6

Приближение функций

Аппроксимация:

Приближение функций Аппроксимация:

Слайд 7

Интерполирование функций

Постановка задачи:
p = n
Сетка (табличные значения функции):
{xi}: xi∈[a, b], i = 0,

1, …, n
x0 = a, xn = b
{yi}: yi = f (xi)
Количество узлов – n + 1.

Интерполирование функций Постановка задачи: p = n Сетка (табличные значения функции): {xi}: xi∈[a,

Слайд 8

Интерполирование функций

Постановка задачи:
Равномерная сетка:
{xi}: xi = x0 + i⋅h, i = 0, 1,

…, n
x0 = a, xn = b
Система линейно-независимых функций:
φi(x)

Интерполирование функций Постановка задачи: Равномерная сетка: {xi}: xi = x0 + i⋅h, i

Слайд 9

Интерполирование функций

Постановка задачи:
Требуется определить коэффициенты
сi, i = 0, 1, …, n
таким образом, чтобы
Pn(xi)

= yi
Для решения будем использовать степенные полиномы:

Интерполирование функций Постановка задачи: Требуется определить коэффициенты сi, i = 0, 1, …,

Слайд 10

Интерполирование функций

Постановка задачи:
Для равномерной сетки
поэтому

Интерполирование функций Постановка задачи: Для равномерной сетки поэтому

Слайд 11

Полином Ньютона
Здесь –
разделенные разности j-i-го порядка,
[xi] = yi

Полином Ньютона Здесь – разделенные разности j-i-го порядка, [xi] = yi

Слайд 12

Полином Ньютона

Для равномерной сетки
Здесь –
конечные разности j-i-го порядка.

Полином Ньютона Для равномерной сетки Здесь – конечные разности j-i-го порядка.

Слайд 13

Полином Лагранжа

Полином Лагранжа

Слайд 14

Полином Лагранжа

Для равномерной сетки

Полином Лагранжа Для равномерной сетки

Слайд 15

Численное дифференцирование функций

Постановка задачи:
f (x) = P(x) + R(x)
Определить:
f (k)(x) = (P(x) + R(x))(k)

= P(k)(x) + R(k)(x)

Численное дифференцирование функций Постановка задачи: f (x) = P(x) + R(x) Определить: f

Слайд 16

Полином Ньютона

Первая производная для неравномерной сетки:

Полином Ньютона Первая производная для неравномерной сетки:

Слайд 17

Полином Ньютона

Первая производная для равномерной сетки:

Полином Ньютона Первая производная для равномерной сетки:

Слайд 18

Полином Ньютона

Вторая производная для неравномерной сетки:

Полином Ньютона Вторая производная для неравномерной сетки:

Слайд 19

Полином Ньютона

Вторая производная для равномерной сетки:

Полином Ньютона Вторая производная для равномерной сетки:

Слайд 20

Полином Лагранжа

Первая производная для неравномерной сетки:

Полином Лагранжа Первая производная для неравномерной сетки:

Слайд 21

Полином Лагранжа

Первая производная для равномерной сетки:

Полином Лагранжа Первая производная для равномерной сетки:

Слайд 22

Полином Лагранжа

Вторая производная для неравномерной сетки:

Полином Лагранжа Вторая производная для неравномерной сетки:

Слайд 23

Примеры

Полином Ньютона.
Результирующая сетка: {1/4, 9/4, 25/4}
Далее строим полином P3(x).

Примеры Полином Ньютона. Результирующая сетка: {1/4, 9/4, 25/4} Далее строим полином P3(x).

Слайд 24

Примеры

Полином Ньютона.
Разделенные разности:

Примеры Полином Ньютона. Разделенные разности:

Слайд 25

Примеры

Полином Ньютона.
Результат:

Примеры Полином Ньютона. Результат:

Слайд 26

Примеры

Полином Ньютона.
Проверка:

Примеры Полином Ньютона. Проверка:

Слайд 27

Примеры

Полином Ньютона.
Значения в узлах результирующей сетки:

Примеры Полином Ньютона. Значения в узлах результирующей сетки:

Слайд 28

Примеры

Полином Лагранжа.
Результирующая сетка: {1/4, 9/4, 25/4}
Далее строим полином L3(x).

Примеры Полином Лагранжа. Результирующая сетка: {1/4, 9/4, 25/4} Далее строим полином L3(x).

Слайд 29

Примеры

Полином Лагранжа.

Примеры Полином Лагранжа.

Слайд 30

Примеры

Полином Лагранжа.
Результат:

Примеры Полином Лагранжа. Результат:

Слайд 31

Примеры

Полином Лагранжа.
Проверка:

Примеры Полином Лагранжа. Проверка:

Слайд 32

Примеры

Полином Лагранжа.
Значения в узлах результирующей сетки:

Примеры Полином Лагранжа. Значения в узлах результирующей сетки:

Слайд 33

Примеры

Полином Лагранжа.
Значения в узлах результирующей сетки:

Примеры Полином Лагранжа. Значения в узлах результирующей сетки:

Имя файла: Интерполирование-и-численное-дифференцирование-функций.pptx
Количество просмотров: 147
Количество скачиваний: 0