Слайд 2
![Приближение функций Тогда f (x) = P(x) + R(x), где](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-1.jpg)
Приближение функций
Тогда
f (x) = P(x) + R(x),
где R(x) – остаточный член.
Применение:
возможность вычислить f (x) ≈ P(x) при x ≠ xi, если:
аналитический вид f (x) неизвестен;
функция f (x) имеет сложный вид.
Слайд 3
![Приближение функций Классификация: Интерполяция. Критерий для определения ci выглядит как](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-2.jpg)
Приближение функций
Классификация:
Интерполяция. Критерий для определения ci выглядит как P(xi) = yi
(p ≥ n, обычно p = n);
Аппроксимация (p < n). Критерий для определения ci выглядит как
Слайд 4
![Приближение функций Классификация: Экстраполяция – возможность вычислить f (x) ≈ P(x) при x∉[a, b].](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-3.jpg)
Приближение функций
Классификация:
Экстраполяция – возможность вычислить f (x) ≈ P(x) при x∉[a,
b].
Слайд 5
![Приближение функций Интерполяция:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-4.jpg)
Приближение функций
Интерполяция:
Слайд 6
![Приближение функций Аппроксимация:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-5.jpg)
Приближение функций
Аппроксимация:
Слайд 7
![Интерполирование функций Постановка задачи: p = n Сетка (табличные значения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-6.jpg)
Интерполирование функций
Постановка задачи:
p = n
Сетка (табличные значения функции):
{xi}: xi∈[a, b], i
= 0, 1, …, n
x0 = a, xn = b
{yi}: yi = f (xi)
Количество узлов – n + 1.
Слайд 8
![Интерполирование функций Постановка задачи: Равномерная сетка: {xi}: xi = x0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-7.jpg)
Интерполирование функций
Постановка задачи:
Равномерная сетка:
{xi}: xi = x0 + i⋅h, i =
0, 1, …, n
x0 = a, xn = b
Система линейно-независимых функций:
φi(x)
Слайд 9
![Интерполирование функций Постановка задачи: Требуется определить коэффициенты сi, i =](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-8.jpg)
Интерполирование функций
Постановка задачи:
Требуется определить коэффициенты
сi, i = 0, 1, …, n
таким
образом, чтобы
Pn(xi) = yi
Для решения будем использовать степенные полиномы:
Слайд 10
![Интерполирование функций Постановка задачи: Для равномерной сетки поэтому](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-9.jpg)
Интерполирование функций
Постановка задачи:
Для равномерной сетки
поэтому
Слайд 11
![Полином Ньютона Здесь – разделенные разности j-i-го порядка, [xi] = yi](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-10.jpg)
Полином Ньютона
Здесь –
разделенные разности j-i-го порядка,
[xi] = yi
Слайд 12
![Полином Ньютона Для равномерной сетки Здесь – конечные разности j-i-го порядка.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-11.jpg)
Полином Ньютона
Для равномерной сетки
Здесь –
конечные разности j-i-го порядка.
Слайд 13
![Полином Лагранжа](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-12.jpg)
Слайд 14
![Полином Лагранжа Для равномерной сетки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-13.jpg)
Полином Лагранжа
Для равномерной сетки
Слайд 15
![Численное дифференцирование функций Постановка задачи: f (x) = P(x) +](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-14.jpg)
Численное дифференцирование функций
Постановка задачи:
f (x) = P(x) + R(x)
Определить:
f (k)(x) = (P(x)
+ R(x))(k) = P(k)(x) + R(k)(x)
Слайд 16
![Полином Ньютона Первая производная для неравномерной сетки:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-15.jpg)
Полином Ньютона
Первая производная для неравномерной сетки:
Слайд 17
![Полином Ньютона Первая производная для равномерной сетки:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-16.jpg)
Полином Ньютона
Первая производная для равномерной сетки:
Слайд 18
![Полином Ньютона Вторая производная для неравномерной сетки:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-17.jpg)
Полином Ньютона
Вторая производная для неравномерной сетки:
Слайд 19
![Полином Ньютона Вторая производная для равномерной сетки:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-18.jpg)
Полином Ньютона
Вторая производная для равномерной сетки:
Слайд 20
![Полином Лагранжа Первая производная для неравномерной сетки:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-19.jpg)
Полином Лагранжа
Первая производная для неравномерной сетки:
Слайд 21
![Полином Лагранжа Первая производная для равномерной сетки:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-20.jpg)
Полином Лагранжа
Первая производная для равномерной сетки:
Слайд 22
![Полином Лагранжа Вторая производная для неравномерной сетки:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-21.jpg)
Полином Лагранжа
Вторая производная для неравномерной сетки:
Слайд 23
![Примеры Полином Ньютона. Результирующая сетка: {1/4, 9/4, 25/4} Далее строим полином P3(x).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-22.jpg)
Примеры
Полином Ньютона.
Результирующая сетка: {1/4, 9/4, 25/4}
Далее строим полином P3(x).
Слайд 24
![Примеры Полином Ньютона. Разделенные разности:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-23.jpg)
Примеры
Полином Ньютона.
Разделенные разности:
Слайд 25
![Примеры Полином Ньютона. Результат:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-24.jpg)
Примеры
Полином Ньютона.
Результат:
Слайд 26
![Примеры Полином Ньютона. Проверка:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-25.jpg)
Примеры
Полином Ньютона.
Проверка:
Слайд 27
![Примеры Полином Ньютона. Значения в узлах результирующей сетки:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-26.jpg)
Примеры
Полином Ньютона.
Значения в узлах результирующей сетки:
Слайд 28
![Примеры Полином Лагранжа. Результирующая сетка: {1/4, 9/4, 25/4} Далее строим полином L3(x).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-27.jpg)
Примеры
Полином Лагранжа.
Результирующая сетка: {1/4, 9/4, 25/4}
Далее строим полином L3(x).
Слайд 29
![Примеры Полином Лагранжа.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-28.jpg)
Слайд 30
![Примеры Полином Лагранжа. Результат:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-29.jpg)
Примеры
Полином Лагранжа.
Результат:
Слайд 31
![Примеры Полином Лагранжа. Проверка:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-30.jpg)
Примеры
Полином Лагранжа.
Проверка:
Слайд 32
![Примеры Полином Лагранжа. Значения в узлах результирующей сетки:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-31.jpg)
Примеры
Полином Лагранжа.
Значения в узлах результирующей сетки:
Слайд 33
![Примеры Полином Лагранжа. Значения в узлах результирующей сетки:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/76481/slide-32.jpg)
Примеры
Полином Лагранжа.
Значения в узлах результирующей сетки: