Многочлены от одной переменной презентация

1.1. Многочлены
Выражение вида:
называется многочленом степени n одного аргумента (переменной).
Будем обозначать многочлен одной переменной через
, , …

Степенью многочлена называется наивысшая степень аргумента многочлена.
Для указания степени многочлена будем использовать нижний индекс заглавной буквы: .

Запись
представляет собой стандартный вид многочлена одной переменной х степени n, где – коэффициенты
степеней переменной х.

Определение 1.
Два многочлена
и ,
называются равными,
если их коэффициенты
при соответствующих степенях х равны,

т.е. пусть
,
,
тогда
, , … .

Многочлен
называется многочленом степени
выше чем многочлен ,
если наивысший показатель степени х многочлена
больше наивысшего показателя степени х многочлена
т. е.

Многочлены
и
называются многочленами одинаковой степени, если
.

Основные формулы сокращенного умножения:
;
;
;
;
;
;
;

1.2. Деление многочлена на многочлен
Любой многочлен может быть представлен в виде:
,
где
– делитель многочлена ,
– частное от деления многочлена
на многочлен ,

– остаток от деления многочлена
на многочлен .
Причем, сумма степеней делителя и частного равна степени делимого,
т. е. ,
степень остатка меньше степени делителя.

Определение 1.
Многочлен
делится на многочлен ,
если остаток от деления равен нулю, т.е. .

Пример 1.
Найти частное и остаток от деления многочлена
на
.

Деление столбиком.
x4 + 3x3 - 5x2 + 6x – 1 -x2 + 3x + 2
x4 - 3x3 - 2x2 - x2 - 6 x - 15 = G2(х)
6x3 - 3x2 + 6x
6x3 -18x2 - 12x
15x2 + 18x - 1
15x2 - 45x - 30
63 x + 29 = R(x)

1.3. Деление многочлена на двучлен

Теорема Безу
При делении многочлена
на двучлен
остаток от деления равен значению многочлена при ,
т. е. .

Доказательство.
Пусть при делении многочлена
на двучлен
имеем
.

Подставим в полученное выражение значение ,
получим ,
или ,
или ,
что и требовалось доказать.

Определение 1.
Корнем многочлена называется такое значение аргумента, при котором значение многочлена обращается в нуль.

Таким образом,
является корнем многочлена ,
если .

Следствия из теоремы Безу

1.
Многочлен
делится на двучлен
тогда и только тогда, когда число α является корнем многочлена .

Другими словами,
если при делении многочлена
на двучлен
остаток R(x) от деления равен нулю,
то значение
– корень многочлена.

Доказательство.
По теореме Безу ,
если ,
то следовательно .
По определению корня многочлена имеем, что
– корень многочлена, что и требовалось доказать.

2.

3.

4.

Пример1.

Решение.

Пример 2.

Решение:

Теорема.

Доказательство.

Примечание.

Пример 4.

Решение.

1. 4. Корни многочлена. Теорема о корнях многочлена.

Определение