Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции презентация

Цель урока:
Ввести понятие интеграла и его вычисление по формуле Ньютона – Лейбница, используя знания о первообразной и правила её вычисления;
Проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции;
Закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

Определение:
Пусть дана положительная функция f(x), определенная на конечном отрезке [a;b].
Интегралом от функции f(x) на [a;b] называется площадь её криволинейной трапеции.

Обозначение:
⎯ «интеграл от a до b эф от икс дэ икс»

Историческая справка:
Обозначение интеграла Лейбниц произвёл от первой буквы слова «Сумма» (Summa). Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты. Сам термин интеграл придумал Якоб Бернулли.
Summa

Оформление определённого интеграла в привычном нам виде придумал Фурье.
Обозначение неопределённого интеграла ввёл Эйлер.
Историческая справка:

Формула Ньютона - Лейбница

Пример 1.
Вычислить определённый интеграл:
=
Решение:

Пример 2.
Вычислите определённые интегралы:
5
9
1

Пример 3.
=
Решение:
S =

Пример 4.
Найдём точки пересечения (абсциссы) этих линий, решив уравнение
S=SBADC - SΔBAC
SBADC =
=
SΔBAC=
Решение:

Домашнее задание:
Составление карточек-консультаций, таблиц на тему: «Вычисление интегралов. Формула Ньютона—Лейбница»

Пример 5.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
у = х3; х = 0; х = 2 и осью 0Х
Фигура, ограниченная кривой у = х3; прямыми х = 0; х = 2 и осью 0Х - криволинейная трапеция (по определению), площадь этой фигуры можно вычислить по формуле.
Решение:
2
Ответ: S = 4 кв.ед.

Пример 6.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0,5х2 + 1, y = 0, х = - 2, x = 3 .
Фигура, ограниченная кривой y = 0,5х2 + 1; прямыми y = 0, х = - 2,
x = 3 - криволинейная трапеция (по определению), площадь этой фигуры можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение:

Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.
Рассмотрим функцию – f(x). Фигура аА1В1b симметрична фигуре аАВb относительно оси Ох, а следовательно, их площади S1 и S равны. Но

Пример 7.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = - х2 - 1, у = 0, х =-1, х = 2.
Решение:
Используем следующее свойство определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции:

Вычислите определенные интегралы
4
18
1
6

Найдите площади криволинейной трапеции:

Спасибо за внимание