Выпуклый анализ. Теоремы об отделимости выпуклых множеств. Лекция 17 презентация

6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ
6.1. Проекция точки на множество
6.2. Отделимость точки и множества.
6.3. Отделимость выпуклых множеств.

6.1. Проекция точки на множество
Определение 1.
удовлетворяющая условию
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.
то проекция единственна
Доказательство.
определенной

равенством
Очевидно, что точка минимума этой функции,
действительно существует,
По теореме 5.2 (минимум гладкой выпуклой функции) выводим
следует из строгой выпуклости функции (2).
Теорема доказана.
если она существует,

6.2. Отделимость точки и множества.
Теорема 2.
то
Доказательство.
Тогда согласно теореме 1 существует проекция
причем
Тогда
определяемых этой гиперплоскостью.

и для рассматриваемого случая теорема доказана.
и существует последовательность
Если бы это было не так,
Теорема доказана.

Доказанной теореме придадим следующий геометрический смысл.

Эта точка определяется из условия

Таким образом,

Упражнение.
Имеем

Корень должен быть только один.

6.3. Отделимость выпуклых множеств.
Определение 2.
строго отделимы,
если
сильно отделимы,
если знак неравенства в (2)
строгий.
Ниже дается геометрическая интерпретация различных случаев отделения.

отделима от его замыкания,
то отделение сильное.
Теорема 3.

Доказательство.
Рассмотрим множество
Отсюда выводим
Найдутся последовательности
В силу неравенства (3) будет выполняться
что и означает выполнение неравенства (2).

вытекает, что
Таким образом,
Теорема доказана.
Теорема 4.
одно из которых ограничено
Доказательство.
и последовательность

что и означает его замкнутость.
такой, что
Отсюда выводим
Тогда

Теорема доказана.