Выпуклый анализ. Выпуклые функции. Лекция 11 презентация

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
3.1. Определение выпуклой функции. Примеры.
3.2. Действия с выпуклыми функциями.

3.1. Определение выпуклой функции. Примеры.
Определение 1.
называется выпуклой на этом множестве, если
Определение 2.
Если не оговорено противное,
располагается не ниже графика этой функции.
По определению полагается,

Пример 1.
выпукла.
Пример 2.
выпукла.
Пример 3.
справедливо неравенство

Теорема 1.
Тогда для любых
выпукла.

Доказательство.
есть следствие определения выпуклости функции.
Тогда
и

и

Возвращаясь на начало цепочки, получим
Теорема доказана.
Следующая теорема позволяет свести исследование выпуклости функции многих
переменных
к исследованию выпуклости функций одной переменной.

Теорема 2.
выпукла тогда и только тогда,
определенная формулой,
выпукла.
Доказательство. Необходимость.
Вычисляем

Необходимость доказана.
Достаточность.
выпукла.
Теорема доказана.

Упражнение 1.
Доказать выпуклость функции
Решение.
Пусть
Полагаем
Тогда

По теореме 2 будет выпуклой и исходная функция

3.2. Действия с выпуклыми функциями.
Теорема 3.
выпуклы и
определенная формулой
выпукла.
Доказательство.
Для любых
имеем
Теорема доказана.
сохраняющие их выпуклость.

Теорема 4.
Пусть функции
определенная формулой
выпукла.
Доказательство.
Теорема доказана.
выпуклы.

Из доказанной теоремы, в частности следует,
Теорема 5.
определенная равенством
Доказательство.
выпуклая и неубывающая,
выпуклая на этом множестве.
Теорема доказана.

Следствие 1.
Следствие 2.
Доказательство.
Доказательство.