Урок-практикум по алгебре. 8 класс. презентация

Тема 1.
Как решали квадратное уравнение в древности?
Впервые квадратное уравнение смогли решить древние египтяне. В одном из папирусов была найдена такая задача.
Танчева Галина Александровна

Задача
«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12 ,а – 3/4 длины равны ширине».
Решение:
Пусть длина поля равна х, тогда его ширина – 3/4х, а площадь - 3/4 х2 . Получаем квадратное уравнение: 3/4х2 =12. В папирусе описано правило его решения. Надо разделить 12 на 3/4. Получим, что х2 =16. «Длина поля равна 4», - говорится в папирусе.
Танчева Галина Александровна

Тема 2
Введение новой переменной
Танчева Галина Александровна

Решите уравнение
(5х+3)2 =3(5х+3)-2
Решение: Пусть 5х+3=t .Произведем замену переменной: t2 =3t-2.
Решаем уравнение t2-3t+2=0
Получим t1=1, t2=2.
Обратная замена: если t=1, 5х+3=1, х=-0,4;
Если t=2, то 5х+3=2, х=-0,2
Ответ:-0,4; -0,2.
Танчева Галина Александровна

Тема 3
Метод разложения на множители
Танчева Галина Александровна

Решите уравнение
3х2 +2х-1=0
Решение: Воспользуемся способом группировки, для чего представим 2х в виде разности 3х и х.
3х2 +3х-х-1=0
3х(х+1)-(х+1)=0
(х+1)(3х-1)=0
х+1=0 или 3х-1=0
х=-1 х=1/3 Ответ: -1; 1/3.
Танчева Галина Александровна

Тема 4
Квадратные уравнения, коэффициенты которых обладают некоторыми свойствами.
ах2+вх+с=0, где а≠0
Если а+в+с=0, то х1=1, х2=с/а
Если а+с=в, то х1=-1, х2=-с/а
Танчева Галина Александровна

Решите уравнения:
х2 +4х-5=0 х 2+6х+5=0
а=1,в=4,с=-5 а=1,в=6,с=5
а+в+с=0 а+с=в
х 1=1; х 2=-5. х 1=-1; х 2=-5
Танчева Галина Александровна
2х2-5х+3=0 3х2 +2х-1=0
а=2в=-5 с=3 а=3 в=2 с =-1
а+в+с=0 а+с=в
х 1=1; х 2=3/2 х 1=-1; х 2=1/3

Тема 5
Графический способ квадратных уравнений
Графический способ решения уравнения состоит в построении на одной координатной плоскости графиков двух функций и нахождении абсцисс их точек пересечения (если такие точки есть). В случае квадратного уравнения строятся графики квадратичной и линейной функций - парабола и прямая.
Танчева Галина Александровна

1)прямая и парабола касаются (имеют единственную общую точку), абсцисса точки касания- корень уравнения.
Возможны случаи:
Танчева Галина Александровна

2)прямая и парабола пересекаются в двух точках, абсциссы этих точек являются корнями уравнения.
Возможны случаи:
Танчева Галина Александровна

Возможны случаи:
3)прямая и парабола не имеют общих точек, тогда уравнение не имеет корней.
Танчева Галина Александровна

Тема 6
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Корни квадратного уравнения ах 2+вх+с=0 (а≠0) можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром
Q(-в/2а; а+с/2а), проходящей через точку А(0;1) и оси ОХ.
Решение уравнения сводится к построению окружности с центром точки Q и радиусом
Q А и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью ОХ.
Танчева Галина Александровна

Первый:
если QА˃ а+с/2а, то окружность пересекает ось ОХ в двух точках: два решения: х 1; х 2.
Рассмотрим 3 случая:
Танчева Галина Александровна

Второй:
если QА=а+с/2а,
то окружность касается оси ОХ: одно решение х.
Рассмотрим 3 случая:
Танчева Галина Александровна

Рассмотрим 3 случая:
Третий:
если QА˂а+с/2а, то окружность не имеет общих точек с осью ОХ: уравнение не имеет корней.
Танчева Галина Александровна

Самостоятельная работа
1вариант 2 вариант
3х 2-8х+5=0 х 2-4х+3=0
2х 2+3х+1=0 х 2+4х+3=0
2х 2+6=0 х 2 -2х=0
-5х2 -9х+14=0 3х2 +8х + 5=0
Танчева Галина Александровна

Проверим себя
1вариант 2 вариант
1;5/3. 1;3.
-1;-0,5. -1;-3.
Нет решения 0;2.
1;2,8. -1;-5/3.
Танчева Галина Александровна

Домашнее задание:
Решите с помощью квадратного уравнения древнеиндийскую задачу:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекаясь.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам
Стали прыгать , повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне в этой стае.
Танчева Галина Александровна