Кинематика. Кинематика точки презентация

2. Кинематика.
Векторный способ задания движения точки.
Положение точки М задается ее радиусом-вектором , проведенным из начала координат О в точку М (рис.37).
Рис.37.
При движении точки М вектор рассматривается как переменный вектор (вектор-функция), зависящий от аргумента t:
- уравнение движения или закон движения точки в векторной форме.
В прямоугольных декартовых координатах проекции вектора на оси x, y, z (рис.37): .

3. Кинематика.
Координатный способ задания движения точки.
Положение точки можно задать ее координатами x, y, z, изменяющимися с течением времени.
; ;
- уравнения движения точки или закон движения точки.
Из этих уравнений, исключая время t, можно найти уравнения траектории движения точки.

4. Кинематика.
Естественный способ задания движения.
Траектория точки М – кривая АВ – известна (рис.38). Точку примем за начало отсчета. Определим положительное и отрицательное направление отсчета движения точки на кривой.
s – криволинейная координата, равная расстоянию от точки до точки М ( ,…).
Рис. 38.
s=f(t) - закон движения точки М вдоль траектории.

5. Кинематика.
Вектор скорости точки
Векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории, называется скоростью.
Рис.39.
Перемещение точки за промежуток времени определяется вектором - вектором перемещения точки.
, или .
Средняя по модулю и направлению скорость точки за промежуток времени определяется : .
Направление вектора совпадает с направлением

6. Кинематика. Вектор скорости точки.
Если промежутки времени малы ( 0) средняя скорость становится равной истинной скорости в данный момент:
Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени. Направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

7. Кинематика.
Вектор ускорения точки
Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.
Вектор направлен в сторону вогнутости траектории.
Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.
Плоскость, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей для всех точек.

8. Кинематика.
Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения
Воспользуемся теоремой: проекция производной от вектора на ось, неподвижную в данной системе отсчета, равна производной от проекций дифференцируемого вектора на ту же ось.
1. Скорость точки.
Учитывая, что , найдем:
или , ,
Модуль и направление скорости (углы , которые вектор
образует с координатными осями):
, , .
,

9. Кинематика.
2. Ускорение точки.
Вектор ускорения:
Отсюда: , , ,
или , , .
Проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени.
Модуль и направление ускорения ( - углы, которые вектор ускорения образует с координатными осями):
;
; ; .

10. Кинематика.
Скорость и ускорение точки при естественном задания движения
Даны траектория точки и закон движения точки вдоль траектории s=f(t).
Значения векторов и определяют по их проекциям на подвижные оси , которые движутся вместе с точкой М и называются осями естественного трехгранника, или скоростными осями.
Рис.41.
Направление осей: ось - по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s, ось Мn – по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории, ось Mb – перпендикулярно к осям и Mn так, чтобы она образовала с ними правую систему осей. Нормаль Mn - главная нормаль, нормаль Mb – бинормаль.

11. Кинематика. Скорость и ускорение точки при естественном задании движения.
Поскольку вектор скорости точки совпадает с осью , то величина скорости определяется проекцией вектора на эту ось с учетом знака . Знак принято опускать и называть v числовым (алгебраическим) значением скорости.
Числовое значение скорости точки в данный момент времени равно первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s этой точки по времени.
Величина v определяет и модуль скорости, и ее направление – по знаку модуля.

12. Кинематика.
Касательное и нормальное ускорение точки
Проекции вектора на оси , Mn, Mb: ,
, ,
где .
Рис.42.
Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении движения тела направление совпадает с направлением вектора скорости, а при замедлении – противоположно направлению.

13. Кинематика. Касательное и нормальное ускорения точки
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и определяется:
,
где ᵨ - радиус кривизны траектории в данный момент времени.
Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.
Значение полного ускорения :

14. Кинематика. Касательное и нормальное ускорения точки.
Рис.43.

15. Кинематика.
Частные случаи движения точки.
1. Прямолинейное движение.
, , .
Касательное ускорение характеризует изменение числового значения скорости.
2.Равномерное криволинейное движение.
V=сonst, , .
Вектор направлен по нормали к траектории точки.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.
Закон равномерного криволинейного движения:
, , , , .
При s=vt, v=s/t.
,

16. Кинематика. Частные случаи движения точки.
3. Равномерное прямолинейное движение.
, . Ускорение точки равно нулю только при равномерном прямолинейном движении.
4. Равнопеременное криволинейное движение.
.
При t=0 , .
, . Интегрируем: . Или
.
Интегрируем: - закон равнопеременного криволинейного движения точки.

17. Кинематика. Поступательное движение.
Кинематика твердого тела
Поступательное движение
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый данный момент имеют одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

18. Кинематика. Поступательное движение
Поскольку поступательное движение твердого тела определяется движением какой-либо его точки, его движение сводится к кинематике точки. Обычно рассматривают движение центра масс.

19. Кинематика.
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Если твердое тело движется так, что две какие-нибудь его точки остаются неподвижными, то такое движение называются вращательным.
Неподвижная прямая АВ - ось вращения тела.
Каждая точка тела, не лежащая на оси вращения, описывает при таком вращении окружность, плоскость которой перпендикулярность к оси вращения и центр которой
лежит на этой оси.
Для описания вращательного движения тела
вокруг неподвижной оси можно использовать
только угловые параметры.
Рис.48.
Вдоль оси вращения направим ось Az и проведем две полуплоскости: неподвижную – I, и подвижную – II. - угол поворота тела. Считаем, что положителен, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси Az. [ ] = рад.
Положение тела в любой момент времени определяется углом , закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси: .

20. Кинематика. Вращательное движение.
Угловая скорость тела определяется: или .
Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени.
Размерность – 1/T, рад/сек=1/сек= .
Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.
или .
Числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.
Размерность – 1/ , 1/

21. Кинематика.
Равномерное вращение
Угловая скорость постоянна, т.е. = const .
- закон
равном. кривол. дв-я
Равнопеременное вращение
Угловое ускорение тела постоянно, т.е. = const .
Если величины и имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если имеют разные знаки – равнозамедленным.
- з-н равноперем. кривол.
дв-я точки.

22. Кинематика.
Определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела
1. Скорость точек тела
Рис.50. Рис. 51.
За время dt точка М совершает поворот вокруг оси на элементарный угол , элементарное перемещение вдоль траектории . Числовое значение скорости точки:
или .

23. Кинематика. Скорость точек твердого тела при вращательном движении.
Скорость точки v называют линейной или окружной скоростью точки М.
Направлена скорость по касательной к описываемой окружности и перпендикулярна плоскости, проходящую через ось вращения и точку М.
Поле скорости точек тела:
Рис. 52.

24. кинематика. Вращательное движение твердого тела.
2.Ускорение точек тела.
Воспользуемся формулами: , , .
Тогда, , .
Или , .
Полное ускорение или .

25. Кинематика. Ускорение точек тела.
Рис.53. Рис.54.
Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом ; . Или .
Т.к. и в данный момент времени для всех точек тела имеют одно и то же значение, следовательно: а) скорость и ускорение всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения; б) угол для всех точек вращающегося тела в данный момент времени имеет одно и то же значение.
Поле ускорения точек вращающегося тела показано на рис.54.

28. Кинематика. Плоскопараллельное движение.
Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным движением твердого тела называется такое, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости.
Примеры: 1) движение конуса, основание которого скользит по данной неподвижной плоскости; 2) качение колеса по прямолинейному рельсу; 3) движение шатуна кривошипно-шатунного механизма; 4) вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Рис.56.
Секущая плоскость Оxy параллельна плоскости П.Все точки сечения S тела движутся параллельно плоскости П. Поэтому достаточно рассмотреть движение сечения S тела – плоской фигуры S – в плоскости Oxy.

29. Кинематика. Плоскопараллельное движение твердого тела.
На плоскости сечения S проведем отрезок АВ, который и будет определять положение плоской фигуры S.
Положение отрезка определяется координатами ,
и углом (с осью x). Точку А назовем полюсом.
Рис. 57.
, , - уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.
Первые два уравнения – уравнения поступательного движения. Третье уравнение определяет движение, которое совершила бы фигура S при неподвижном полюсе А. Следовательно
, Движение плоской фигуры в общем случае можно разложить на два движения: 1) поступательное движение со скоростью, равной скорости произвольно выбранной точки фигуры (полюса); 2) вращательное движение вокруг этой точки.

30. Кинематика. Плоскопараллельное движение.
Основные кинематические характеристики этого движения являются: 1) скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса ( , ), и 2) угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.
Вращательная часть движения не зависит от выбора полюса.

31. Кинематика.
Скорости точек плоской фигуры
Скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь точки А, принятый за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.
где - скорость полюса А; - скорость вращения фигуры относительно полюса А. При этом ,
где - угловая скорость фигуры.

32. Кинематика.
Ускорение точек плоской фигуры
Ускорение каждой точки движущейся плоской фигуры равно геометрической сумме двух ускорений: 1) ускорения в поступательном (переносном) движении полюса и 2) ускорения во вращательном движении вокруг полюса (в относительном движении).

33. Кинематика.
Теорема о проекциях скоростей двух точек тела:
Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой.
Рассмотрим точки А и В плоской фигуры, где точка А – полюс.
Рис.61.
. Проецируя и ( ) на ось, проведенную по линии АВ, находим
, что и требовалось доказать.

34. Кинематика.
Мгновенный центр скоростей (МЦС)
Изучая движение плоской фигуры в ее поступательном и вращательном движении, приходим к логическому выводу о существовании в каждый момент времени точки, в которой скорость равна нулю.
Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Рис.62.
Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости
и , не параллельные друг другу. Точка Р лежит на пересечении перпендикуляров Aa и Вb к этим векторам. Докажем, что т. Р - МЦС.
Если допустить, что скорость не равняется нулю , тогда вектор скорости точки Р должен быть перпендикулярен и АР и ВР – согласно теореме о проекциях скоростей двух точек тела, что невозможно. Более того, никакая другая точка в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

35. Кинематика. МЦС.
Если Р - полюс, то скорость, например, точки А в момент времени t:
,
т.к. . Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг МЦС.
Покажем, что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от МЦС.
; ; следовательно, .

36. Кинематика. МЦС.
Выводы:
1. Для определения МЦС надо знать только направления скоростей и двух точек А и В плоской фигуры.
2. МЦС лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в двух точках фигуры к скоростям этих точек.
3. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В.
4. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от МЦС (т. Р):
.

37. Кинематика.
Частные случаи определения МЦС:
1. При качении без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, точка касания Р является МЦС
(рис.63).
Рис.63. Рис. 64.
2. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны, причем линия АВ не перпендикулярна скоростям (рис. 63, а), то движение является поступательным (назыв. мгновенно поступательным). МЦС лежит в бесконечности. Из теоремы о проекции скоростей:
, т.е. - для любой точки фигуры, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей. .